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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.

Sh(h a)Sk{(k b) (k x ; h)} = 1 ; (bn + x) ; a = {(a = 0) + (b = 1) (x an)},
Sh " Pk " = (bn j x) ; a = (a xn ; b),
Ph " Sk " = {1 ; (b + x) j 0}(0 j a) = (a 0){(b = 0) (1 = 1 ; x)},
Ph " Pk " = 0 j a(x j bn) = (a = 1)(b x).

Sh{(h a) Sk(k b)(k x ; h)} = 1 ; (an + x ; b) = {(a = 1)(bx = 0) = 0},
Sh " Pk " = 1 ; (an + xb j 0) = {(a = 1) (b = 1 = x ; 1)},
Ph " Sk " = b ; x j an = (a x ; b), (= g2),
Ph " Pk " = 0 j bx j an = (1 ; a b)(a x).

Sh(h a)Sk(k b)(k x ; h) = b ; x ; a = (abx 0), (= gn1),
Sh " Pk " = (0 j bx) ; a = {a(0 j b)(0 j x) 0},
Ph " Sk " = 0 j a(x ; b) = (a = 1 = x ; b),
Ph " Pk " = 0 j abx j 0 = (a = b = 1 = x).
Wenn man in den beiden ersten Quadrupeln anstatt der letzten sekundären
Subsumtion die umgekehrte, mithin: {(k x ; h) (k b)} setzte, so
würde der Effekt blos der sein, dass sich x mit xn und b mit bn vertauschte.
Mit den vorstehenden zugleich sind also noch 8 weitre (zusammen 24)
Arten von Aussagen erledigt -- ungerechnet deren Negationen, und die
sich mittelst Vertauschung von a, (h), x mit b, (k), x ergebenden. Die
Wirkung einer Ersetzung der Subsumtion k x ; h durch die Gleichung
k = x ; h haben wir oben S. 646 angegeben.

Eine grosse Mannigfaltigkeit von möglichen Bedingungen ergäbe sich
noch, wenn man darauf eingehen wollte, ob verschiednen Elementen in a
nie, manchmal, oder stets verschiedne Elemente in b als ein x-Bild der-
selben, resp. als deren x-Bild entsprechen -- eventuell auch blos sofern
die Bilder von 0 verschieden sind. Doch wollen wir dieses reiche Feld
von Übungen im Einkleiden und Interpretiren von Forderungen, im äqui-
valenten Umformen derselben und im Ziehen von Folgerungen -- dem ja
durch unsre Einleitung im § 30 auch schon vorgearbeitet ist -- lieber
nicht mehr betreten.

Um nunmehr die ähnliche Abbildung eines Systems a(= a ; 1) in
sich selbst zu charakterisiren, wenden wir -- zum Schlusse -- die
Normalform (17) der Ähnlichkeitsbedingung auf ein dem a ähnliches
System b an, welches als a gedacht wird.

Man könnte -- unter u(= u ; 1) ein unbestimmtes System verstehend --
einfach b = u a in jene Formel eintragen, und müsste nur dem vorgeschrie-
benen [Formel 1] dann noch ein [Formel 2] beigesellen. Besser fügen wir aber die Forde-
rung b a hinzu, und merzen den Namen b, indem wir ihn durch das
ihm gleiche z ; a durchweg ersetzen, vollständig aus.

Zwölfte Vorlesung.

Σh(h ⋹ a)Σk{(k ⋹ b) ⋹ (k ⋹ x ; h)} = 1 ; (b̄ + x) ; a = {(a = 0) + (b = 1) ⋹ (x ⋹ ā̆)},
Σh „ Πk „ = (b̄̆ ɟ x) ; a = (a ⋹ x̄̆ ; b),
Πh „ Σk „ = {1 ; (b + x) ɟ 0}(0 ɟ a) = (a ≠ 0){(b = 0) ⋹ (1 = 1 ; x)},
Πh „ Πk „ = 0 ɟ a(x̆ ɟ b̄) = (a = 1)(b ⋹ x).

Σh{(h ⋹ a) ⋹ Σk(k ⋹ b)(k ⋹ x ; h)} = 1 ; (ā + x̆ ; b) = {(a = 1)(bx = 0) = 0},
Σh „ Πk „ = 1 ; (ā + x̆b̆ ɟ 0) = {(a = 1) ⋹ (b = 1 = x ; 1)},
Πh „ Σk „ = b̆ ; x ɟ ā = (a ⋹ x̆ ; b), (= γ2),
Πh „ Πk „ = 0 ɟ bx ɟ ā = (1 ; a ⋹ b)(ă ⋹ x).

Σh(h ⋹ a)Σk(k ⋹ b)(k ⋹ x ; h) = b̆ ; x ; a = (ăbx ≠ 0), (= γ̄1),
Σh „ Πk „ = (0 ɟ bx) ; a = {ă(0 ɟ b)(0 ɟ x) ≠ 0},
Πh „ Σk „ = 0 ɟ a(x̆ ; b) = (a = 1 = x̆ ; b),
Πh „ Πk „ = 0 ɟ ăbx ɟ 0 = (a = b = 1 = x).
Wenn man in den beiden ersten Quadrupeln anstatt der letzten sekundären
Subsumtion die umgekehrte, mithin: {(k ⋹ x ; h) ⋹ (k ⋹ b)} setzte, so
würde der Effekt blos der sein, dass sich x mit x̄ und b mit b̄ vertauschte.
Mit den vorstehenden zugleich sind also noch 8 weitre (zusammen 24)
Arten von Aussagen erledigt — ungerechnet deren Negationen, und die
sich mittelst Vertauschung von a, (h), x mit b, (k), x̆ ergebenden. Die
Wirkung einer Ersetzung der Subsumtion k ⋹ x ; h durch die Gleichung
k = x ; h haben wir oben S. 646 angegeben.

Eine grosse Mannigfaltigkeit von möglichen Bedingungen ergäbe sich
noch, wenn man darauf eingehen wollte, ob verschiednen Elementen in a
nie, manchmal, oder stets verschiedne Elemente in b als ein x-Bild der-
selben, resp. als deren x-Bild entsprechen — eventuell auch blos sofern
die Bilder von 0 verschieden sind. Doch wollen wir dieses reiche Feld
von Übungen im Einkleiden und Interpretiren von Forderungen, im äqui-
valenten Umformen derselben und im Ziehen von Folgerungen — dem ja
durch unsre Einleitung im § 30 auch schon vorgearbeitet ist — lieber
nicht mehr betreten.

Um nunmehr die ähnliche Abbildung eines Systems a(= a ; 1) in
sich selbst zu charakterisiren, wenden wir — zum Schlusse — die
Normalform (17) der Ähnlichkeitsbedingung auf ein dem a ähnliches
System b an, welches als ⋹ a gedacht wird.

Man könnte — unter u(= u ; 1) ein unbestimmtes System verstehend —
einfach b = u a in jene Formel eintragen, und müsste nur dem vorgeschrie-
benen [Formel 1] dann noch ein [Formel 2] beigesellen. Besser fügen wir aber die Forde-
rung b ⋹ a hinzu, und merzen den Namen b, indem wir ihn durch das
ihm gleiche z ; a durchweg ersetzen, vollständig aus.

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[648/0662] Zwölfte Vorlesung. Σh(h ⋹ a)Σk{(k ⋹ b) ⋹ (k ⋹ x ; h)} = 1 ; (b̄ + x) ; a = {(a = 0) + (b = 1) ⋹ (x ⋹ ā̆)}, Σh „ Πk „ = (b̄̆ ɟ x) ; a = (a ⋹ x̄̆ ; b), Πh „ Σk „ = {1 ; (b + x) ɟ 0}(0 ɟ a) = (a ≠ 0){(b = 0) ⋹ (1 = 1 ; x)}, Πh „ Πk „ = 0 ɟ a(x̆ ɟ b̄) = (a = 1)(b ⋹ x). Σh{(h ⋹ a) ⋹ Σk(k ⋹ b)(k ⋹ x ; h)} = 1 ; (ā + x̆ ; b) = {(a = 1)(bx = 0) = 0}, Σh „ Πk „ = 1 ; (ā + x̆b̆ ɟ 0) = {(a = 1) ⋹ (b = 1 = x ; 1)}, Πh „ Σk „ = b̆ ; x ɟ ā = (a ⋹ x̆ ; b), (= γ2), Πh „ Πk „ = 0 ɟ bx ɟ ā = (1 ; a ⋹ b)(ă ⋹ x). Σh(h ⋹ a)Σk(k ⋹ b)(k ⋹ x ; h) = b̆ ; x ; a = (ăbx ≠ 0), (= γ̄1), Σh „ Πk „ = (0 ɟ bx) ; a = {ă(0 ɟ b)(0 ɟ x) ≠ 0}, Πh „ Σk „ = 0 ɟ a(x̆ ; b) = (a = 1 = x̆ ; b), Πh „ Πk „ = 0 ɟ ăbx ɟ 0 = (a = b = 1 = x). Wenn man in den beiden ersten Quadrupeln anstatt der letzten sekundären Subsumtion die umgekehrte, mithin: {(k ⋹ x ; h) ⋹ (k ⋹ b)} setzte, so würde der Effekt blos der sein, dass sich x mit x̄ und b mit b̄ vertauschte. Mit den vorstehenden zugleich sind also noch 8 weitre (zusammen 24) Arten von Aussagen erledigt — ungerechnet deren Negationen, und die sich mittelst Vertauschung von a, (h), x mit b, (k), x̆ ergebenden. Die Wirkung einer Ersetzung der Subsumtion k ⋹ x ; h durch die Gleichung k = x ; h haben wir oben S. 646 angegeben. Eine grosse Mannigfaltigkeit von möglichen Bedingungen ergäbe sich noch, wenn man darauf eingehen wollte, ob verschiednen Elementen in a nie, manchmal, oder stets verschiedne Elemente in b als ein x-Bild der- selben, resp. als deren x-Bild entsprechen — eventuell auch blos sofern die Bilder von 0 verschieden sind. Doch wollen wir dieses reiche Feld von Übungen im Einkleiden und Interpretiren von Forderungen, im äqui- valenten Umformen derselben und im Ziehen von Folgerungen — dem ja durch unsre Einleitung im § 30 auch schon vorgearbeitet ist — lieber nicht mehr betreten. Um nunmehr die ähnliche Abbildung eines Systems a(= a ; 1) in sich selbst zu charakterisiren, wenden wir — zum Schlusse — die Normalform (17) der Ähnlichkeitsbedingung auf ein dem a ähnliches System b an, welches als ⋹ a gedacht wird. Man könnte — unter u(= u ; 1) ein unbestimmtes System verstehend — einfach b = u a in jene Formel eintragen, und müsste nur dem vorgeschrie- benen [FORMEL] dann noch ein [FORMEL] beigesellen. Besser fügen wir aber die Forde- rung b ⋹ a hinzu, und merzen den Namen b, indem wir ihn durch das ihm gleiche z ; a durchweg ersetzen, vollständig aus.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 648. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/662>, abgerufen am 18.02.2025.

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