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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Erstes Buch

Beweiß.

Dann so er ihm nicht gleich ist/ wird er nohtwendig grösser oder klei-
ner seyn.

Man setze fürs erste/ er sey grösser/ und beschreibe in und umb den Kreiß-
Teihl ABDC gleichseitige und einander ähnliche Vielekke/ also daß die Sei-
te des äussern gegen der Seite des innern eine kleinere Verhälmis habe/ als
die Lini L gegen der Lini F, nach obigem IV. Lehrsatz; L aber auch gegen
E vorher schon eine kleinere als der obige Kugel-Teihl gegen dem Kegel H,
nach dem II. Lehrsatz. Uber dieses finde man zwischen L und E zwey mitt-
lere gleichübertreffende/ nehmlich/ nächst vorbesagtem F auch die Lini G, nach
der 1. Anmerkung des XXXII. Lehrsatzes; und setze endlich/ obiger Weise
nach/ aus Umbwälzung derer beyden Vielekke/ umb- und eingeschriebene Cör-
perliche Figuren entstanden zu seyn.

So hat dann nun die umbgeschriebene Figur sambt ihrem zugehörigen
Kegel des Mittelpuncts (den wir a nennen wollen) gegen der eingeschriebenen
sambt ihrem Kegel (b) eine dreyfache Verhältnis derer jenigen/ welche da hat
eine Seite des äussern Vielekkes gegen einer Seite des innern/ vermög der
andern Folge des XXXVII. Lehrsatzes. Diese Seiten aber haben gegen
einander eine kleinere Verhältnis/ als L gegen F, Krafft obiger Vorberei-
tung. Derowegen ist auch die Verhältnis der umbgeschriebenen Figur/ sambt
a, gegen der eingeschriebenen/ sambt b, kleiner/ als die dreyfache Verhältnis
des L gegen F, das ist (vermög der 2. Anmerkung des XXXII. Lehrsatzes)
als die einfache Verhältnis des L gegen dem E, und noch viel mehr (aus der
Vorbereitung) als der obige Kugel-Teihl gegen dem Kegel H. Weil aber
nun die umbgeschriebene Figur/ sambt ihrem Kegel a, grösser ist als der/ von
ihr begriffene/ Kugel-Teihl/ wird umb so viel mehr eben dieser Kugel-Teihl
gegen der eingeschriebenen Figur/ sambt ihrem Kegel b, eine kleinere Verhält-
nis haben/ als er hat gegen dem Kegel H, und deswegen der Kegel H kleiner
seyn als die eingeschriebene Figur sambt ihrem Kegel b, vermög des 8ten und
10den im V. B. Welches aber ungereimt und wider obigen XXXV. Lehrsatz
und dessen Folge ist/ und daher bezeuget/ daß obiger Satz falsch/ das ist/ der
gegebene Kugel-Teihl nicht grösser/ als der Kegel H, sey.

Man setze fürs andere/ er sey kleiner/ und bleibe das andere alles wie oben/
ausgenommen daß jezt L gegen E eine kleinere Verhältnis habe/ als der Kegel
H gegen dem gegebenen Kugel-Teihl.

Welchem

Archimedis Erſtes Buch

Beweiß.

Dann ſo er ihm nicht gleich iſt/ wird er nohtwendig groͤſſer oder klei-
ner ſeyn.

Man ſetze fuͤrs erſte/ er ſey groͤſſer/ und beſchreibe in und umb den Kreiß-
Teihl ABDC gleichſeitige und einander aͤhnliche Vielekke/ alſo daß die Sei-
te des aͤuſſern gegen der Seite des innern eine kleinere Verhaͤlmis habe/ als
die Lini L gegen der Lini F, nach obigem IV. Lehrſatz; L aber auch gegen
E vorher ſchon eine kleinere als der obige Kugel-Teihl gegen dem Kegel H,
nach dem II. Lehrſatz. Uber dieſes finde man zwiſchen L und E zwey mitt-
lere gleichuͤbertreffende/ nehmlich/ naͤchſt vorbeſagtem F auch die Lini G, nach
der 1. Anmerkung des XXXII. Lehrſatzes; und ſetze endlich/ obiger Weiſe
nach/ aus Umbwaͤlzung derer beyden Vielekke/ umb- und eingeſchriebene Coͤr-
perliche Figuren entſtanden zu ſeyn.

So hat dann nun die umbgeſchriebene Figur ſambt ihrem zugehoͤrigen
Kegel des Mittelpuncts (den wir a nennen wollen) gegen der eingeſchriebenen
ſambt ihrem Kegel (b) eine dreyfache Verhaͤltnis derer jenigen/ welche da hat
eine Seite des aͤuſſern Vielekkes gegen einer Seite des innern/ vermoͤg der
andern Folge des XXXVII. Lehrſatzes. Dieſe Seiten aber haben gegen
einander eine kleinere Verhaͤltnis/ als L gegen F, Krafft obiger Vorberei-
tung. Derowegen iſt auch die Verhaͤltnis der umbgeſchriebenen Figur/ ſambt
a, gegen der eingeſchriebenen/ ſambt b, kleiner/ als die dreyfache Verhaͤltnis
des L gegen F, das iſt (vermoͤg der 2. Anmerkung des XXXII. Lehrſatzes)
als die einfache Verhaͤltnis des L gegen dem E, und noch viel mehr (aus der
Vorbereitung) als der obige Kugel-Teihl gegen dem Kegel H. Weil aber
nun die umbgeſchriebene Figur/ ſambt ihrem Kegel a, groͤſſer iſt als der/ von
ihr begriffene/ Kugel-Teihl/ wird umb ſo viel mehr eben dieſer Kugel-Teihl
gegen der eingeſchriebenen Figur/ ſambt ihrem Kegel b, eine kleinere Verhaͤlt-
nis haben/ als er hat gegen dem Kegel H, und deswegen der Kegel H kleiner
ſeyn als die eingeſchriebene Figur ſambt ihrem Kegel b, vermoͤg des 8ten und
10den im V. B. Welches aber ungereimt und wider obigen XXXV. Lehrſatz
und deſſen Folge iſt/ und daher bezeuget/ daß obiger Satz falſch/ das iſt/ der
gegebene Kugel-Teihl nicht groͤſſer/ als der Kegel H, ſey.

Man ſetze fuͤrs andere/ er ſey kleiner/ und bleibe das andere alles wie oben/
ausgenommen daß jezt L gegen E eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als der Kegel
H gegen dem gegebenen Kugel-Teihl.

Welchem

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[94/0122] Archimedis Erſtes Buch Beweiß. Dann ſo er ihm nicht gleich iſt/ wird er nohtwendig groͤſſer oder klei- ner ſeyn. Man ſetze fuͤrs erſte/ er ſey groͤſſer/ und beſchreibe in und umb den Kreiß- Teihl ABDC gleichſeitige und einander aͤhnliche Vielekke/ alſo daß die Sei- te des aͤuſſern gegen der Seite des innern eine kleinere Verhaͤlmis habe/ als die Lini L gegen der Lini F, nach obigem IV. Lehrſatz; L aber auch gegen E vorher ſchon eine kleinere als der obige Kugel-Teihl gegen dem Kegel H, nach dem II. Lehrſatz. Uber dieſes finde man zwiſchen L und E zwey mitt- lere gleichuͤbertreffende/ nehmlich/ naͤchſt vorbeſagtem F auch die Lini G, nach der 1. Anmerkung des XXXII. Lehrſatzes; und ſetze endlich/ obiger Weiſe nach/ aus Umbwaͤlzung derer beyden Vielekke/ umb- und eingeſchriebene Coͤr- perliche Figuren entſtanden zu ſeyn. So hat dann nun die umbgeſchriebene Figur ſambt ihrem zugehoͤrigen Kegel des Mittelpuncts (den wir a nennen wollen) gegen der eingeſchriebenen ſambt ihrem Kegel (b) eine dreyfache Verhaͤltnis derer jenigen/ welche da hat eine Seite des aͤuſſern Vielekkes gegen einer Seite des innern/ vermoͤg der andern Folge des XXXVII. Lehrſatzes. Dieſe Seiten aber haben gegen einander eine kleinere Verhaͤltnis/ als L gegen F, Krafft obiger Vorberei- tung. Derowegen iſt auch die Verhaͤltnis der umbgeſchriebenen Figur/ ſambt a, gegen der eingeſchriebenen/ ſambt b, kleiner/ als die dreyfache Verhaͤltnis des L gegen F, das iſt (vermoͤg der 2. Anmerkung des XXXII. Lehrſatzes) als die einfache Verhaͤltnis des L gegen dem E, und noch viel mehr (aus der Vorbereitung) als der obige Kugel-Teihl gegen dem Kegel H. Weil aber nun die umbgeſchriebene Figur/ ſambt ihrem Kegel a, groͤſſer iſt als der/ von ihr begriffene/ Kugel-Teihl/ wird umb ſo viel mehr eben dieſer Kugel-Teihl gegen der eingeſchriebenen Figur/ ſambt ihrem Kegel b, eine kleinere Verhaͤlt- nis haben/ als er hat gegen dem Kegel H, und deswegen der Kegel H kleiner ſeyn als die eingeſchriebene Figur ſambt ihrem Kegel b, vermoͤg des 8ten und 10den im V. B. Welches aber ungereimt und wider obigen XXXV. Lehrſatz und deſſen Folge iſt/ und daher bezeuget/ daß obiger Satz falſch/ das iſt/ der gegebene Kugel-Teihl nicht groͤſſer/ als der Kegel H, ſey. Man ſetze fuͤrs andere/ er ſey kleiner/ und bleibe das andere alles wie oben/ ausgenommen daß jezt L gegen E eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als der Kegel H gegen dem gegebenen Kugel-Teihl. Welchem

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 94. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/122>, abgerufen am 23.11.2024.

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