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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Säule.
gleich ist der Fläche BCF, das ist (vermög des XXXVIII. Lehrsatzes im I. B.)
zum Durchmesser hat die Lini BC; die Höhe aber gleich dem Halbmesser der
Kugel/ welcher Kegel M also gleich ist dem keglichten Kugelstükk BCFH, wie
im XL. Lehrsatz des I. Buchs bewiesen worden. Dieweil sich nun verhält
wie DE gegen EC, also HA sambt AE gegen AE, Krafft obigen Satzes/
so ist auch zerteihlet/ wie DC gegen CE, also HA gegen AE (nach dem 17den
des V. B.) das ist/ CH gegen AE; und wechselweis/ wie DC gegen CH, also
CE gegen AE, nach dem 16den des V. und zusammgesetzet (aus dem 18den
des V.) wie DH gegen CH, also CA gegen AE, das ist/ also die Vierung
von CB, gegen der Vierung BE, (Besihe die 1. Anmerkung.) Nun ist aber
CB gleich dem Halbmesser der Grundscheibe M, BE aber der Halbmesser der
Grundscheibe BF. Derohalben wird sich auch/ wie DH gegen CH (welche
ist die Höhe oder Mittel-Lini des Kegels M) also die Grundscheibe M gegen
der Grundscheibe BF, verhalten/ vermög des 2ten im XII. B. Und also der
Kegel M dem Doppel-Kegel HBDFH gleich seyn. (Besihe die 3. Anmerkung.)
Nun ist aber eben derselbe Kegel M gleich dem keglichten Kugelstükk BCFH
(vermög folgender 1. Anmerkung;) derowegen ist eben dieses keglichte Kugel-
stükk BCFH gleich dem Doppel-Kegel HBDFH. So man von beyden den
gemeinen Kegel BHF hinweg nimmt/ muß nohtwendig das übrige abgeschnit-
tene Kugelstükk BCFB, dem Kegel BDF gleich seyn; Welches hat sollen be-
wiesen werden.

Gleicher gestalt wird erwiesen/ daß das übrige Kugelstükk BAFB gleich
sey dem Kegel BKF. Dann weil HC+CE ist gegen CE wie KE gegen EA,
Krafft obigen Satzes/ so ist auch zerteihlet wie HC gegen CE, das ist/ wie
HA gegen CE, also KA gegen AE, und wechselweis/ wie HA gegen KA, also
CE gegen AE, oder umbgekehrt/ wie KA gegen AH, also AE gegen CE; und
zusammgesetzet/ wie KH gegen AH, also AC gegen CE, das ist (vermög fol-
gender 1. Anmerkung) also die Vierung AB gegen der Vierung BE. So man
nun setzet einen Kegel N, dessen Grundscheibe zum Halbmesser hat die Lini AB,
die Höhe aber gleich ist dem Halbmesser der Kugel/ also daß der ganze Kegel N
(nach folgender 2. Anmerkung) gleich ist dem ausgehohlten Kugelstükk BH
FA; und aber wie KH gegen HA (das ist/ gegen der Höhe des Kegels N) also
die Vierung AB gegen der Vierung BE sich verhält/ das ist/ die Grundscheibe
N, gegen der Grundscheibe des Halbmessers BE (aus dem 2ten im XII.) so
folget/ daß der Kegel N (das ist/ das hohle Kugelstükk BHFA) gleich sey der
Cörperlichen (unten auch hohlen) Figur KBHFK, vermög folgender 3. An-
merkung. Derowegen so man zu beyden Teihlen hinzu setzet den gemeinen Ke-
gel BHF, wird das ganze Kugelstükk BAFB, gleich seyn dem ganzen Kegel
BFK; Welches zu beweisen war.

Anmerkungen.

1. Archimedes schliesset in obigem Beweiß: DH verhalte sich gegen CH, wie CA ge-
gen AE, das ist/ wie die Vierung CB gegen der Vierung BE. Daß dem gewiß also sey/ er-
hellet also: Weil CBA ein gerader Winkel ist/ aus dem 31sten des III. und BE senkrecht
auf AC, vermög obigen Satzes/ so verhält sich (Krafft des 8ten im VI.) wie CB gegen
BE, also AC gegen AB und AB gegen AE, und derhalben (weil AC, AB und AE drey
fortgesetzet-gleichverhaltende sind) die Vierung von AC gegen der Vierung AB, oder (wel-
ches gleich viel ist) die Vierung von CB gegen der Vierung BE, wie die erste AC gegen der
dritten AE, vermög des 20sten im VI. und der 10den Worterklärung im V. B.

2. Jn
Q ij

Von der Kugel und Rund-Saͤule.
gleich iſt der Flaͤche BCF, das iſt (vermoͤg des XXXVIII. Lehrſatzes im I. B.)
zum Durchmeſſer hat die Lini BC; die Hoͤhe aber gleich dem Halbmeſſer der
Kugel/ welcher Kegel M alſo gleich iſt dem keglichten Kugelſtuͤkk BCFH, wie
im XL. Lehrſatz des I. Buchs bewieſen worden. Dieweil ſich nun verhaͤlt
wie DE gegen EC, alſo HA ſambt AE gegen AE, Krafft obigen Satzes/
ſo iſt auch zerteihlet/ wie DC gegen CE, alſo HA gegen AE (nach dem 17den
des V. B.) das iſt/ CH gegen AE; und wechſelweis/ wie DC gegen CH, alſo
CE gegen AE, nach dem 16den des V. und zuſammgeſetzet (aus dem 18den
des V.) wie DH gegen CH, alſo CA gegen AE, das iſt/ alſo die Vierung
von CB, gegen der Vierung BE, (Beſihe die 1. Anmerkung.) Nun iſt aber
CB gleich dem Halbmeſſer der Grundſcheibe M, BE aber der Halbmeſſer der
Grundſcheibe BF. Derohalben wird ſich auch/ wie DH gegen CH (welche
iſt die Hoͤhe oder Mittel-Lini des Kegels M) alſo die Grundſcheibe M gegen
der Grundſcheibe BF, verhalten/ vermoͤg des 2ten im XII. B. Und alſo der
Kegel M dem Doppel-Kegel HBDFH gleich ſeyn. (Beſihe die 3. Anmerkung.)
Nun iſt aber eben derſelbe Kegel M gleich dem keglichten Kugelſtuͤkk BCFH
(vermoͤg folgender 1. Anmerkung;) derowegen iſt eben dieſes keglichte Kugel-
ſtuͤkk BCFH gleich dem Doppel-Kegel HBDFH. So man von beyden den
gemeinen Kegel BHF hinweg nimmt/ muß nohtwendig das uͤbrige abgeſchnit-
tene Kugelſtuͤkk BCFB, dem Kegel BDF gleich ſeyn; Welches hat ſollen be-
wieſen werden.

Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß das uͤbrige Kugelſtuͤkk BAFB gleich
ſey dem Kegel BKF. Dann weil HC+CE iſt gegen CE wie KE gegen EA,
Krafft obigen Satzes/ ſo iſt auch zerteihlet wie HC gegen CE, das iſt/ wie
HA gegen CE, alſo KA gegen AE, und wechſelweis/ wie HA gegen KA, alſo
CE gegen AE, oder umbgekehrt/ wie KA gegen AH, alſo AE gegen CE; und
zuſammgeſetzet/ wie KH gegen AH, alſo AC gegen CE, das iſt (vermoͤg fol-
gender 1. Anmerkung) alſo die Vierung AB gegen der Vierung BE. So man
nun ſetzet einen Kegel N, deſſen Grundſcheibe zum Halbmeſſer hat die Lini AB,
die Hoͤhe aber gleich iſt dem Halbmeſſer der Kugel/ alſo daß der ganze Kegel N
(nach folgender 2. Anmerkung) gleich iſt dem ausgehohlten Kugelſtuͤkk BH
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die Vierung AB gegen der Vierung BE ſich verhaͤlt/ das iſt/ die Grundſcheibe
N, gegen der Grundſcheibe des Halbmeſſers BE (aus dem 2ten im XII.) ſo
folget/ daß der Kegel N (das iſt/ das hohle Kugelſtuͤkk BHFA) gleich ſey der
Coͤrperlichen (unten auch hohlen) Figur KBHFK, vermoͤg folgender 3. An-
merkung. Derowegen ſo man zu beyden Teihlen hinzu ſetzet den gemeinen Ke-
gel BHF, wird das ganze Kugelſtuͤkk BAFB, gleich ſeyn dem ganzen Kegel
BFK; Welches zu beweiſen war.

Anmerkungen.

1. Archimedes ſchlieſſet in obigem Beweiß: DH verhalte ſich gegen CH, wie CA ge-
gen AE, das iſt/ wie die Vierung CB gegen der Vierung BE. Daß dem gewiß alſo ſey/ er-
hellet alſo: Weil CBA ein gerader Winkel iſt/ aus dem 31ſten des III. und BE ſenkrecht
auf AC, vermoͤg obigen Satzes/ ſo verhaͤlt ſich (Krafft des 8ten im VI.) wie CB gegen
BE, alſo AC gegen AB und AB gegen AE, und derhalben (weil AC, AB und AE drey
fortgeſetzet-gleichverhaltende ſind) die Vierung von AC gegen der Vierung AB, oder (wel-
ches gleich viel iſt) die Vierung von CB gegen der Vierung BE, wie die erſte AC gegen der
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2. Jn
Q ij
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[123/0151] Von der Kugel und Rund-Saͤule. gleich iſt der Flaͤche BCF, das iſt (vermoͤg des XXXVIII. Lehrſatzes im I. B.) zum Durchmeſſer hat die Lini BC; die Hoͤhe aber gleich dem Halbmeſſer der Kugel/ welcher Kegel M alſo gleich iſt dem keglichten Kugelſtuͤkk BCFH, wie im XL. Lehrſatz des I. Buchs bewieſen worden. Dieweil ſich nun verhaͤlt wie DE gegen EC, alſo HA ſambt AE gegen AE, Krafft obigen Satzes/ ſo iſt auch zerteihlet/ wie DC gegen CE, alſo HA gegen AE (nach dem 17den des V. B.) das iſt/ CH gegen AE; und wechſelweis/ wie DC gegen CH, alſo CE gegen AE, nach dem 16den des V. und zuſammgeſetzet (aus dem 18den des V.) wie DH gegen CH, alſo CA gegen AE, das iſt/ alſo die Vierung von CB, gegen der Vierung BE, (Beſihe die 1. Anmerkung.) Nun iſt aber CB gleich dem Halbmeſſer der Grundſcheibe M, BE aber der Halbmeſſer der Grundſcheibe BF. Derohalben wird ſich auch/ wie DH gegen CH (welche iſt die Hoͤhe oder Mittel-Lini des Kegels M) alſo die Grundſcheibe M gegen der Grundſcheibe BF, verhalten/ vermoͤg des 2ten im XII. B. Und alſo der Kegel M dem Doppel-Kegel HBDFH gleich ſeyn. (Beſihe die 3. Anmerkung.) Nun iſt aber eben derſelbe Kegel M gleich dem keglichten Kugelſtuͤkk BCFH (vermoͤg folgender 1. Anmerkung;) derowegen iſt eben dieſes keglichte Kugel- ſtuͤkk BCFH gleich dem Doppel-Kegel HBDFH. So man von beyden den gemeinen Kegel BHF hinweg nimmt/ muß nohtwendig das uͤbrige abgeſchnit- tene Kugelſtuͤkk BCFB, dem Kegel BDF gleich ſeyn; Welches hat ſollen be- wieſen werden. Gleicher geſtalt wird erwieſen/ daß das uͤbrige Kugelſtuͤkk BAFB gleich ſey dem Kegel BKF. Dann weil HC+CE iſt gegen CE wie KE gegen EA, Krafft obigen Satzes/ ſo iſt auch zerteihlet wie HC gegen CE, das iſt/ wie HA gegen CE, alſo KA gegen AE, und wechſelweis/ wie HA gegen KA, alſo CE gegen AE, oder umbgekehrt/ wie KA gegen AH, alſo AE gegen CE; und zuſammgeſetzet/ wie KH gegen AH, alſo AC gegen CE, das iſt (vermoͤg fol- gender 1. Anmerkung) alſo die Vierung AB gegen der Vierung BE. So man nun ſetzet einen Kegel N, deſſen Grundſcheibe zum Halbmeſſer hat die Lini AB, die Hoͤhe aber gleich iſt dem Halbmeſſer der Kugel/ alſo daß der ganze Kegel N (nach folgender 2. Anmerkung) gleich iſt dem ausgehohlten Kugelſtuͤkk BH FA; und aber wie KH gegen HA (das iſt/ gegen der Hoͤhe des Kegels N) alſo die Vierung AB gegen der Vierung BE ſich verhaͤlt/ das iſt/ die Grundſcheibe N, gegen der Grundſcheibe des Halbmeſſers BE (aus dem 2ten im XII.) ſo folget/ daß der Kegel N (das iſt/ das hohle Kugelſtuͤkk BHFA) gleich ſey der Coͤrperlichen (unten auch hohlen) Figur KBHFK, vermoͤg folgender 3. An- merkung. Derowegen ſo man zu beyden Teihlen hinzu ſetzet den gemeinen Ke- gel BHF, wird das ganze Kugelſtuͤkk BAFB, gleich ſeyn dem ganzen Kegel BFK; Welches zu beweiſen war. Anmerkungen. 1. Archimedes ſchlieſſet in obigem Beweiß: DH verhalte ſich gegen CH, wie CA ge- gen AE, das iſt/ wie die Vierung CB gegen der Vierung BE. Daß dem gewiß alſo ſey/ er- hellet alſo: Weil CBA ein gerader Winkel iſt/ aus dem 31ſten des III. und BE ſenkrecht auf AC, vermoͤg obigen Satzes/ ſo verhaͤlt ſich (Krafft des 8ten im VI.) wie CB gegen BE, alſo AC gegen AB und AB gegen AE, und derhalben (weil AC, AB und AE drey fortgeſetzet-gleichverhaltende ſind) die Vierung von AC gegen der Vierung AB, oder (wel- ches gleich viel iſt) die Vierung von CB gegen der Vierung BE, wie die erſte AC gegen der dritten AE, vermoͤg des 20ſten im VI. und der 10den Worterklaͤrung im V. B. 2. Jn Q ij

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 123. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/151>, abgerufen am 23.11.2024.