Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Anderes Buch von derer Flächen

derer Kegel-Lineen die jenige Puncten/ in welchen sich die Durchmesser enden.) So wir nun
ziehen AB und BC, so entstehet das Dreyekk ABC, welches mit der Parabel-Fläche einer-
ley Grund-Lini und gleiche Höhe hat/ nehmlich die jenige Lini/ welche aus B auf AC senk-
recht herunter fället. Wann wir nun ferner aus denen Scheitelpuncten derer Abschnitte
AEB und BFC, nehmlich aus E und F, die/ mit BD gleichlauffende/ Lineen EG und FO,
ziehen/ so werden dieselbe gemeldter Achschnitte ihre Durchmesser seyn. (Dann es ist von der
Parabel erwiesen/ daß alle/ mit ihrem Durchmesser gleichlauffend-gezogene/ Lineen auch
Durchmesser seyen. Besihe unsere obige zweyte Betrachtung in V.) So sind nun E
und F die Scheitelpuncten beyder Abschnitte AEB und BFC, und die durch E und F gezo-
gene berührende Lineen gleichlauffend mit AB und BC. Soll nun bewiesen werden/ daß auch
die Lini ELF mit ADC gleichlauffe/ und von BD in zwey gleiche Teihle/ EL und LF, ge-
teihlet werde. Dieweil dann EH und FK (nehmlich die verlängerten EG und FO) so wol
dem Durchmesser BD, als eine der andern selbst/ gleichlauffend sind/ und einander gleich (Be-
sihe folgende 2. Anmerkung) so verhält sich wie BG gegen GA, also DH gegen HA,
vermög des 2ten im VI. B. Es ist aber BG dem GA gleich (dann der Durchmesser
EG teihlet alle/ mit der äussern berührenden gleichlauffende/ in zwey gleiche Teihle; Laut
der Ersten Betrachtung 5ter Folge in V.) Derowegen ist auch DH dem HA gleich;
und/ durch gleichen Schluß auch DK dem KC. Nun ist aber auch die ganze DA der ganzen
DC gleich. Weswegen dann auch ihre Helften/ DH und DK, und (weil EH und FK
gleich sind) auch LE und LF so wol unter sich als denen vorigen/ gleich seyn/ wie auch die
ganze EF mit AC gleich lauffen müssen/ alles aus dem 33sten des I. B. Also daß nun-
mehr ein Teihl des obigen Archimedischen Satzes bewiesen ist. Gleicher Weise/ wann man
in die Abschnitte APE, ETB, BQF, FSC, obbesagter Weise Dreyekke verzeichnet/ und
aus denen Scheitelpuncten derer Abschnitte die Lineen PS, TV, QW, SL, mit BD gleich-
lauffend ziehet/ so folget/ daß TQ und PS mit AC gleichlauffen/ und von dem Durchmesser
BD halbgeteihlet werden. Jst also noch zu beweisen/ daß hingegen diese gleichlauffende Li-
neen/ TQ, EF, PS, den Durchmesser BD also teihlen/ daß/ wann BA eins ist/ AL drey/
LD fünf/ und DD sieben sey. Dann weil aus obbewiesenem klar ist/ daß AD doppelt so
groß sey als DH, d. i. als EL, so muß die Vierung von AD viermal so groß seyn als die Vie-
rung von EL, vermög des 20sten im VI. B. Nun aber verhält sich/ wie die Vierung AD
gegen der Vierung EL, also BD gegen BL (Besihe der Ersten Betr. 7de Folge in V.)
Derowegen ist BD viermal so groß als BL, und folgends/ LD dreymal so groß als BL, d. i.
wann BL eins ist/ so muß LD drey seyn; oder wann BL viere zu seyn gesetzet wird/ so muß
LD zwölfe seyn. Gleicher Weise/ weil EN und NB, und folgends EF und FL gleich sind/
d. i. EL zweymal so groß ist als FL, d. i. als TA, so ist die Vierung EL viermal so groß als
die Vierung TA, und also BL viermal so groß als BA. Derohalben wann BA eins ist/
muß BL viere/ und AL dreye seyn. Wiederumb wird aus gleichem Grund bewiesen/ daß/
weil AM und ME gleich sind/ daß auch AS und SH, und folgends auch HV und VD (alle
vier nehmlich einander) gleich seyen/ und daher AD gegen PD sich verhalte/ wie 4 gegen 3;
und die Vierung AD gegen der Vierung PD, wie 16 gegen 9. Weswegen dann abermal
BD gegen BD sich verhält/ wie 16 gegen 9, also daß/ wann BD 9 ist/ das übrige DD 7 seyn
muß. Nun dann aus dem vorhergehenden bekannt ist/ daß/ wann BD 16 ist/ alsdann BA
eins/ AL dreye/ LD zwölfe und DD siebene sey; so muß nohtwendig (wann DD von LD
wegkommet) das übrige LD fünfe seyn. Also daß nunmehr offenbar ist/ wie der Durch-
messer BD durch die Lineen TQ, EF, PS, nach der Verhältnis derer von eins an ordentlich
folgenden ungeraden Zahlen/ 3, 5, 7, &c. zerteihlet werde: gleich wie im Gegenteihl zugleich
erhellet/ daß die Quehr-Lineen TA, EL, PD, AD, von dem Durchmesser nach denen von
eins an ordentlich folgenden Zahlen (keine ausgelassen) geteihlet werden. Dann wie TA
eins ist/ so ist EL zwey/ PD drey/ AD vier/ etc. wie aus dem Aufriß genugsam zu ersehen ist.

2. Jn diesem Beweiß Eutokii (den wir aber hin und wieder erläutert haben) ist dieses
noch nicht gewiß gemachet/ daß die Lineen EH und FK einander gleich seyen. Eutokius be-
ruffet sich zwar auf das 6. der Bücher Apollonii von denen Kegel-Lineen. Weilen aber ge-
dachte Bücher nicht ein jeder zur Hand hat/ wollen wir solches folgender Gestalt beweisen:
Weilen die Lini EF noch nicht bewiesen ist mit AC gleichlauffend zu seyn/ sondern solcher Be-
weiß eben auf gegenwärtigem Satz beruhet/ den wir zu bekräftigen für uns haben/ so wollen
wir uns indessen einbilden/ daß sonst eine Lini aus F auf BD, mit AC gleichlauffend/ gezogen
sey/ die wir auch FL nennen mögen. Welchem nach sich verhält wie BD gegen BL (d. i. BC

gegen

Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen

derer Kegel-Lineen die jenige Puncten/ in welchen ſich die Durchmeſſer enden.) So wir nun
ziehen AB und BC, ſo entſtehet das Dreyekk ABC, welches mit der Parabel-Flaͤche einer-
ley Grund-Lini und gleiche Hoͤhe hat/ nehmlich die jenige Lini/ welche aus B auf AC ſenk-
recht herunter faͤllet. Wann wir nun ferner aus denen Scheitelpuncten derer Abſchnitte
AEB und BFC, nehmlich aus E und F, die/ mit BD gleichlauffende/ Lineen EG und FO,
ziehen/ ſo werden dieſelbe gemeldter Achſchnitte ihre Durchmeſſer ſeyn. (Dann es iſt von der
Parabel erwieſen/ daß alle/ mit ihrem Durchmeſſer gleichlauffend-gezogene/ Lineen auch
Durchmeſſer ſeyen. Beſihe unſere obige zweyte Betrachtung in V.) So ſind nun E
und F die Scheitelpuncten beyder Abſchnitte AEB und BFC, und die durch E und F gezo-
gene beruͤhrende Lineen gleichlauffend mit AB und BC. Soll nun bewieſen werden/ daß auch
die Lini ELF mit ADC gleichlauffe/ und von BD in zwey gleiche Teihle/ EL und LF, ge-
teihlet werde. Dieweil dann EH und FK (nehmlich die verlängerten EG und FO) ſo wol
dem Durchmeſſer BD, als eine der andern ſelbſt/ gleichlauffend ſind/ und einander gleich (Be-
ſihe folgende 2. Anmerkung) ſo verhaͤlt ſich wie BG gegen GA, alſo DH gegen HA,
vermoͤg des 2ten im VI. B. Es iſt aber BG dem GA gleich (dann der Durchmeſſer
EG teihlet alle/ mit der aͤuſſern beruͤhrenden gleichlauffende/ in zwey gleiche Teihle; Laut
der Erſten Betrachtung 5ter Folge in V.) Derowegen iſt auch DH dem HA gleich;
und/ durch gleichen Schluß auch DK dem KC. Nun iſt aber auch die ganze DA der ganzen
DC gleich. Weswegen dann auch ihre Helften/ DH und DK, und (weil EH und FK
gleich ſind) auch LE und LF ſo wol unter ſich als denen vorigen/ gleich ſeyn/ wie auch die
ganze EF mit AC gleich lauffen muͤſſen/ alles aus dem 33ſten des I. B. Alſo daß nun-
mehr ein Teihl des obigen Archimediſchen Satzes bewieſen iſt. Gleicher Weiſe/ wann man
in die Abſchnitte APE, ETB, BQF, FSC, obbeſagter Weiſe Dreyekke verzeichnet/ und
aus denen Scheitelpuncten derer Abſchnitte die Lineen PS, TV, QW, SL, mit BD gleich-
lauffend ziehet/ ſo folget/ daß TQ und PS mit AC gleichlauffen/ und von dem Durchmeſſer
BD halbgeteihlet werden. Jſt alſo noch zu beweiſen/ daß hingegen dieſe gleichlauffende Li-
neen/ TQ, EF, PS, den Durchmeſſer BD alſo teihlen/ daß/ wann BA eins iſt/ AL drey/
LD fuͤnf/ und DD ſieben ſey. Dann weil aus obbewieſenem klar iſt/ daß AD doppelt ſo
groß ſey als DH, d. i. als EL, ſo muß die Vierung von AD viermal ſo groß ſeyn als die Vie-
rung von EL, vermoͤg des 20ſten im VI. B. Nun aber verhaͤlt ſich/ wie die Vierung AD
gegen der Vierung EL, alſo BD gegen BL (Beſihe der Erſten Betr. 7de Folge in V.)
Derowegen iſt BD viermal ſo groß als BL, und folgends/ LD dreymal ſo groß als BL, d. i.
wann BL eins iſt/ ſo muß LD drey ſeyn; oder wann BL viere zu ſeyn geſetzet wird/ ſo muß
LD zwoͤlfe ſeyn. Gleicher Weiſe/ weil EN und NB, und folgends EF und FL gleich ſind/
d. i. EL zweymal ſo groß iſt als FL, d. i. als TA, ſo iſt die Vierung EL viermal ſo groß als
die Vierung TA, und alſo BL viermal ſo groß als BA. Derohalben wann BA eins iſt/
muß BL viere/ und AL dreye ſeyn. Wiederumb wird aus gleichem Grund bewieſen/ daß/
weil AM und ME gleich ſind/ daß auch AS und SH, und folgends auch HV und VD (alle
vier nehmlich einander) gleich ſeyen/ und daher AD gegen PD ſich verhalte/ wie 4 gegen 3;
und die Vierung AD gegen der Vierung PD, wie 16 gegen 9. Weswegen dann abermal
BD gegen BD ſich verhaͤlt/ wie 16 gegen 9, alſo daß/ wann BD 9 iſt/ das uͤbrige DD 7 ſeyn
muß. Nun dann aus dem vorhergehenden bekannt iſt/ daß/ wann BD 16 iſt/ alsdann BA
eins/ AL dreye/ LD zwoͤlfe und DD ſiebene ſey; ſo muß nohtwendig (wann DD von LD
wegkommet) das uͤbrige LD fuͤnfe ſeyn. Alſo daß nunmehr offenbar iſt/ wie der Durch-
meſſer BD durch die Lineen TQ, EF, PS, nach der Verhaͤltnis derer von eins an ordentlich
folgenden ungeraden Zahlen/ 3, 5, 7, &c. zerteihlet werde: gleich wie im Gegenteihl zugleich
erhellet/ daß die Quehr-Lineen TA, EL, PD, AD, von dem Durchmeſſer nach denen von
eins an ordentlich folgenden Zahlen (keine ausgelaſſen) geteihlet werden. Dann wie TA
eins iſt/ ſo iſt EL zwey/ PD drey/ AD vier/ ꝛc. wie aus dem Aufriß genugſam zu erſehen iſt.

2. Jn dieſem Beweiß Eutokii (den wir aber hin und wieder erlaͤutert haben) iſt dieſes
noch nicht gewiß gemachet/ daß die Lineen EH und FK einander gleich ſeyen. Eutokius be-
ruffet ſich zwar auf das 6. der Buͤcher Apollonii von denen Kegel-Lineen. Weilen aber ge-
dachte Buͤcher nicht ein jeder zur Hand hat/ wollen wir ſolches folgender Geſtalt beweiſen:
Weilen die Lini EF noch nicht bewieſen iſt mit AC gleichlauffend zu ſeyn/ ſondern ſolcher Be-
weiß eben auf gegenwaͤrtigem Satz beruhet/ den wir zu bekraͤftigen fuͤr uns haben/ ſo wollen
wir uns indeſſen einbilden/ daß ſonſt eine Lini aus F auf BD, mit AC gleichlauffend/ gezogen
ſey/ die wir auch FL nennen moͤgen. Welchem nach ſich verhaͤlt wie BD gegen BL (d. i. BC

gegen

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[260/0288] Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen derer Kegel-Lineen die jenige Puncten/ in welchen ſich die Durchmeſſer enden.) So wir nun ziehen AB und BC, ſo entſtehet das Dreyekk ABC, welches mit der Parabel-Flaͤche einer- ley Grund-Lini und gleiche Hoͤhe hat/ nehmlich die jenige Lini/ welche aus B auf AC ſenk- recht herunter faͤllet. Wann wir nun ferner aus denen Scheitelpuncten derer Abſchnitte AEB und BFC, nehmlich aus E und F, die/ mit BD gleichlauffende/ Lineen EG und FO, ziehen/ ſo werden dieſelbe gemeldter Achſchnitte ihre Durchmeſſer ſeyn. (Dann es iſt von der Parabel erwieſen/ daß alle/ mit ihrem Durchmeſſer gleichlauffend-gezogene/ Lineen auch Durchmeſſer ſeyen. Beſihe unſere obige zweyte Betrachtung in V.) So ſind nun E und F die Scheitelpuncten beyder Abſchnitte AEB und BFC, und die durch E und F gezo- gene beruͤhrende Lineen gleichlauffend mit AB und BC. Soll nun bewieſen werden/ daß auch die Lini ELF mit ADC gleichlauffe/ und von BD in zwey gleiche Teihle/ EL und LF, ge- teihlet werde. Dieweil dann EH und FK (nehmlich die verlängerten EG und FO) ſo wol dem Durchmeſſer BD, als eine der andern ſelbſt/ gleichlauffend ſind/ und einander gleich (Be- ſihe folgende 2. Anmerkung) ſo verhaͤlt ſich wie BG gegen GA, alſo DH gegen HA, vermoͤg des 2ten im VI. B. Es iſt aber BG dem GA gleich (dann der Durchmeſſer EG teihlet alle/ mit der aͤuſſern beruͤhrenden gleichlauffende/ in zwey gleiche Teihle; Laut der Erſten Betrachtung 5ter Folge in V.) Derowegen iſt auch DH dem HA gleich; und/ durch gleichen Schluß auch DK dem KC. Nun iſt aber auch die ganze DA der ganzen DC gleich. Weswegen dann auch ihre Helften/ DH und DK, und (weil EH und FK gleich ſind) auch LE und LF ſo wol unter ſich als denen vorigen/ gleich ſeyn/ wie auch die ganze EF mit AC gleich lauffen muͤſſen/ alles aus dem 33ſten des I. B. Alſo daß nun- mehr ein Teihl des obigen Archimediſchen Satzes bewieſen iſt. Gleicher Weiſe/ wann man in die Abſchnitte APE, ETB, BQF, FSC, obbeſagter Weiſe Dreyekke verzeichnet/ und aus denen Scheitelpuncten derer Abſchnitte die Lineen PS, TV, QW, SL, mit BD gleich- lauffend ziehet/ ſo folget/ daß TQ und PS mit AC gleichlauffen/ und von dem Durchmeſſer BD halbgeteihlet werden. Jſt alſo noch zu beweiſen/ daß hingegen dieſe gleichlauffende Li- neen/ TQ, EF, PS, den Durchmeſſer BD alſo teihlen/ daß/ wann BA eins iſt/ AL drey/ LD fuͤnf/ und DD ſieben ſey. Dann weil aus obbewieſenem klar iſt/ daß AD doppelt ſo groß ſey als DH, d. i. als EL, ſo muß die Vierung von AD viermal ſo groß ſeyn als die Vie- rung von EL, vermoͤg des 20ſten im VI. B. Nun aber verhaͤlt ſich/ wie die Vierung AD gegen der Vierung EL, alſo BD gegen BL (Beſihe der Erſten Betr. 7de Folge in V.) Derowegen iſt BD viermal ſo groß als BL, und folgends/ LD dreymal ſo groß als BL, d. i. wann BL eins iſt/ ſo muß LD drey ſeyn; oder wann BL viere zu ſeyn geſetzet wird/ ſo muß LD zwoͤlfe ſeyn. Gleicher Weiſe/ weil EN und NB, und folgends EF und FL gleich ſind/ d. i. EL zweymal ſo groß iſt als FL, d. i. als TA, ſo iſt die Vierung EL viermal ſo groß als die Vierung TA, und alſo BL viermal ſo groß als BA. Derohalben wann BA eins iſt/ muß BL viere/ und AL dreye ſeyn. Wiederumb wird aus gleichem Grund bewieſen/ daß/ weil AM und ME gleich ſind/ daß auch AS und SH, und folgends auch HV und VD (alle vier nehmlich einander) gleich ſeyen/ und daher AD gegen PD ſich verhalte/ wie 4 gegen 3; und die Vierung AD gegen der Vierung PD, wie 16 gegen 9. Weswegen dann abermal BD gegen BD ſich verhaͤlt/ wie 16 gegen 9, alſo daß/ wann BD 9 iſt/ das uͤbrige DD 7 ſeyn muß. Nun dann aus dem vorhergehenden bekannt iſt/ daß/ wann BD 16 iſt/ alsdann BA eins/ AL dreye/ LD zwoͤlfe und DD ſiebene ſey; ſo muß nohtwendig (wann DD von LD wegkommet) das uͤbrige LD fuͤnfe ſeyn. Alſo daß nunmehr offenbar iſt/ wie der Durch- meſſer BD durch die Lineen TQ, EF, PS, nach der Verhaͤltnis derer von eins an ordentlich folgenden ungeraden Zahlen/ 3, 5, 7, &c. zerteihlet werde: gleich wie im Gegenteihl zugleich erhellet/ daß die Quehr-Lineen TA, EL, PD, AD, von dem Durchmeſſer nach denen von eins an ordentlich folgenden Zahlen (keine ausgelaſſen) geteihlet werden. Dann wie TA eins iſt/ ſo iſt EL zwey/ PD drey/ AD vier/ ꝛc. wie aus dem Aufriß genugſam zu erſehen iſt. 2. Jn dieſem Beweiß Eutokii (den wir aber hin und wieder erlaͤutert haben) iſt dieſes noch nicht gewiß gemachet/ daß die Lineen EH und FK einander gleich ſeyen. Eutokius be- ruffet ſich zwar auf das 6. der Buͤcher Apollonii von denen Kegel-Lineen. Weilen aber ge- dachte Buͤcher nicht ein jeder zur Hand hat/ wollen wir ſolches folgender Geſtalt beweiſen: Weilen die Lini EF noch nicht bewieſen iſt mit AC gleichlauffend zu ſeyn/ ſondern ſolcher Be- weiß eben auf gegenwaͤrtigem Satz beruhet/ den wir zu bekraͤftigen fuͤr uns haben/ ſo wollen wir uns indeſſen einbilden/ daß ſonſt eine Lini aus F auf BD, mit AC gleichlauffend/ gezogen ſey/ die wir auch FL nennen moͤgen. Welchem nach ſich verhaͤlt wie BD gegen BL (d. i. BC gegen

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 260. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/288>, abgerufen am 24.11.2024.

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