Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

Hier muß der kunstliebende Leser zu förderst fleissig merken den Unterscheid/ welchen
Archimedes hält unter denen beyden Red-Arten/ die erste/ andere/ dritte/ vierdte etc.
Schnekkenfläche/ und/ von einer im ersten/ andern/ dritten/ vierdten/ etc. Umblauff
beschriebenen/ Schnekken-Lini begriffene Schnekkenfläche. Diese leztere Art zu re-
den hat er in bißherigen Lehrsätzen/ die erste aber in gegen wertigen/ gebrauchet. Nehmlich/
wann eine vielfache Schnekken-Lini durch oftmal widerholten Umblauff der beschreibenden
Lini verzeichnet wird/ dergleichen eine die folgende Figur fürstellet/ so nennet er hier eigentlich
die erste Schnekkenfläche den jenigen Raum welcher von der ersten geraden Lini HA und von
der ersten krummen Lini/ die aus H über K biß in A gehet/ begriffen wird/ und hier mit K
bezeichnet ist: Die andere Schnekkenfläche ist der nächstfolgende Raum/ welcher von der an-
dern geraden Lini AB und von der andern krummen aus B über L biß in A lauffenden begrif-
fen wird/ iedoch die Fläche K nicht mit genommen/ d. i. die krumme Fläche welche umb K her-
umb gehet bey HA anfangend und bey AB wider aufhörend/ welche hier mit L bezeichnet
ist: Also die dritte Schnekkenfläche die jenige welche umb die Fläche L herumbgewunden ist/
bey AB anfangend und bey BC wider aufhörend/ und hier M zum Gemerk hat. Auf glei-
che weise ist N die vierdte/ und X die funfte Schnekkenfläche/ etc. Die vorige Art zu reden
aber belangend/ so ist zwar die/ von der im ersten Umblauff beschriebenen Schnekken-Lini be-
griffene Fläche eben die welche hier die erste Schnekkenfläche genennet wird: Die/ von der im
andern Umblauff beschriebenen Schnekken-Lini begriffene/ Fläche aber ist nicht eben so viel
als hier die andere sondern so viel als hier die andere/ samt der ersten/ d. i. L und K zusamen.
Also begreifft die dritte obige Art hier die dritte/ andere und erste miteinander: Die vierte Art
in denen obigen Lehrsätzen hier die vierdte sambt allen vorhergehenden/ u. s. f.

Wann man nun dieses also fleissig beobachtet/ und darbeneben zu Hülf nimt was oben im
XXIV. und XXV. Lehrsatz bewiesen/ und bey der Folge dieses leztern angemerket worden/ so
kan die Waarheit dieses unterhanden habenden Lehrsatzes gar leicht für die Augen geleget wer-
den. Dann im XXV. Lehrsatz ist bewiesen/ daß die Schnekkenfläche welche hier K und L
zusamm begreiffet gegen der andern Scheibe/ deren Halbmesser HB wäre/ sich verhalte/ wie
7 gegen 12. Nun ist die andere Scheibe viermal so groß als die erste/ Krafft des 2. ten im
XII. Buch (weil ihr Halbmesser HB zweymal so groß ist als der Halbmesser HA) die erste
Scheibe aber dreymal so groß als die erste Schnekkenfläche K, vermög des XXIV. Lehr-
satzes. Derowegen wann K und L zusammen machen 7 und die andere Scheibe 12, so ist die
erste Scheibe 3, und also die erste Schnekkenfläche KI, die andere L aber allein so viel als 6.
Daher dann für eines erhellet das lezte in dem gegenwärtigen Lehrsatz/ daß nehmlich die erste
Schnekkenfläche K der andern L sechster Theil sey. Nun sind aus gleichem Grund alle/ oben
bey der Folge des XXV. Lehrsatzes bemerkete/ Zahlen berechnet/ und also befunden worden/
daß/ wann K, I und L, 6, d. i. K und L zusammen 7, machen/ alsdann K und L und M zu-
sammen 19; diese drey ferner sambt dem N 37; diese vier sambt dem X, 61, etc. machen.
Derowegen so man von den dreyen K und L, (d. i. 7.) hinweg nimmt/ kommt für die dritte
Schnekkenfläche/ 12: so man von denen vieren K, L, und M (d. i. 19) hinweg nimmt/ kommt
für die vierdte Schnekkenfläche N so viel als 18: und so man von denen fünfen/ K, L, M.
und N (nehmlich 37) hinweg nimmt/ kommt für X, die fünfte Schnekkenfläche/ 24. Nun
ist 12 zweymal/ 18 dreymal/ 24 viermal/ etc. so viel als 6, der zweyten Schnekkenfläche Jnn-
halt; also daß nunmehr die völlige Waarheit des Lehrsatzes für Augen liget. Archimedes
hat zwar eines Theils den Lehrsatz auch/ sonderlich den lezten Theil/ aus derer oben gefun-
denen Zahlen Verhältnis erwiesen; das fordere aber (weilen er die Verhältnissen/ von wel-
chen die Folge des XXV. Lehrsatzes redet/ mit gewissen Zahlen noch nicht benennt hatte)
auf andere weise bekräftiget/ die wir also hier auch mit anfügen müssen.

Es sey eine/ durch vielfachen Umblauff beschriebene/ Schnekken-Lini/ deren
Anfangspunct H, der Endpunct E ist/ und welche vermittelst derer Lineen HA,
AB, BC, &c. unterschiedliche Schnekkenflächen (vorerklärter massen) beschlies-
set/ deren erste sey K, die andere L, die dritte M, die vierdte N, die fünfte X. Soll
nun erwiesen werden/ daß X viermal/ N dreymal/ M zweymal so groß sey als
L, L aber sechsmal so groß als K.

Hier muß der kunſtliebende Leſer zu foͤrderſt fleiſſig merken den Unterſcheid/ welchen
Archimedes haͤlt unter denen beyden Red-Arten/ die erſte/ andere/ dritte/ vierdte ꝛc.
Schnekkenflaͤche/ und/ von einer im erſten/ andern/ dritten/ vierdten/ ꝛc. Umblauff
beſchriebenen/ Schnekken-Lini begriffene Schnekkenflaͤche. Dieſe leztere Art zu re-
den hat er in bißherigen Lehrſaͤtzen/ die erſte aber in gegen wertigen/ gebrauchet. Nehmlich/
wann eine vielfache Schnekken-Lini durch oftmal widerholten Umblauff der beſchreibenden
Lini verzeichnet wird/ dergleichen eine die folgende Figur fuͤrſtellet/ ſo nennet er hier eigentlich
die erſte Schnekkenflaͤche den jenigen Raum welcher von der erſten geraden Lini HA und von
der erſten krummen Lini/ die aus H uͤber K biß in A gehet/ begriffen wird/ und hier mit K
bezeichnet iſt: Die andere Schnekkenflaͤche iſt der naͤchſtfolgende Raum/ welcher von der an-
dern geraden Lini AB und von der andern krummen aus B uͤber L biß in A lauffenden begrif-
fen wird/ iedoch die Flaͤche K nicht mit genommen/ d. i. die krumme Flaͤche welche umb K her-
umb gehet bey HA anfangend und bey AB wider aufhoͤrend/ welche hier mit L bezeichnet
iſt: Alſo die dritte Schnekkenflaͤche die jenige welche umb die Flaͤche L herumbgewunden iſt/
bey AB anfangend und bey BC wider aufhoͤrend/ und hier M zum Gemerk hat. Auf glei-
che weiſe iſt N die vierdte/ und X die funfte Schnekkenflaͤche/ ꝛc. Die vorige Art zu reden
aber belangend/ ſo iſt zwar die/ von der im erſten Umblauff beſchriebenen Schnekken-Lini be-
griffene Flaͤche eben die welche hier die erſte Schnekkenflaͤche genennet wird: Die/ von der im
andern Umblauff beſchriebenen Schnekken-Lini begriffene/ Flaͤche aber iſt nicht eben ſo viel
als hier die andere ſondern ſo viel als hier die andere/ ſamt der erſten/ d. i. L und K zuſamen.
Alſo begreifft die dritte obige Art hier die dritte/ andere und erſte miteinander: Die vierte Art
in denen obigen Lehrſaͤtzen hier die vierdte ſambt allen vorhergehenden/ u. ſ. f.

Wann man nun dieſes alſo fleiſſig beobachtet/ und darbeneben zu Huͤlf nimt was oben im
XXIV. und XXV. Lehrſatz bewieſen/ und bey der Folge dieſes leztern angemerket worden/ ſo
kan die Waarheit dieſes unterhanden habenden Lehrſatzes gar leicht fuͤr die Augen geleget wer-
den. Dann im XXV. Lehrſatz iſt bewieſen/ daß die Schnekkenflaͤche welche hier K und L
zuſamm begreiffet gegen der andern Scheibe/ deren Halbmeſſer HB waͤre/ ſich verhalte/ wie
7 gegen 12. Nun iſt die andere Scheibe viermal ſo groß als die erſte/ Krafft des 2. ten im
XII. Buch (weil ihr Halbmeſſer HB zweymal ſo groß iſt als der Halbmeſſer HA) die erſte
Scheibe aber dreymal ſo groß als die erſte Schnekkenflaͤche K, vermoͤg des XXIV. Lehr-
ſatzes. Derowegen wann K und L zuſammen machen 7 und die andere Scheibe 12, ſo iſt die
erſte Scheibe 3, und alſo die erſte Schnekkenflaͤche KI, die andere L aber allein ſo viel als 6.
Daher dann fuͤr eines erhellet das lezte in dem gegenwaͤrtigen Lehrſatz/ daß nehmlich die erſte
Schnekkenflaͤche K der andern L ſechſter Theil ſey. Nun ſind aus gleichem Grund alle/ oben
bey der Folge des XXV. Lehrſatzes bemerkete/ Zahlen berechnet/ und alſo befunden worden/
daß/ wann K, I und L, 6, d. i. K und L zuſammen 7, machen/ alsdann K und L und M zu-
ſammen 19; dieſe drey ferner ſambt dem N 37; dieſe vier ſambt dem X, 61, ꝛc. machen.
Derowegen ſo man von den dreyen K und L, (d. i. 7.) hinweg nimmt/ kommt fuͤr die dritte
Schnekkenflaͤche/ 12: ſo man von denen vieren K, L, und M (d. i. 19) hinweg nimmt/ kommt
fuͤr die vierdte Schnekkenflaͤche N ſo viel als 18: und ſo man von denen fuͤnfen/ K, L, M.
und N (nehmlich 37) hinweg nimmt/ kommt fuͤr X, die fuͤnfte Schnekkenflaͤche/ 24. Nun
iſt 12 zweymal/ 18 dreymal/ 24 viermal/ ꝛc. ſo viel als 6, der zweyten Schnekkenflaͤche Jnn-
halt; alſo daß nunmehr die voͤllige Waarheit des Lehrſatzes fuͤr Augen liget. Archimedes
hat zwar eines Theils den Lehrſatz auch/ ſonderlich den lezten Theil/ aus derer oben gefun-
denen Zahlen Verhaͤltnis erwieſen; das fordere aber (weilen er die Verhaͤltniſſen/ von wel-
chen die Folge des XXV. Lehrſatzes redet/ mit gewiſſen Zahlen noch nicht benennt hatte)
auf andere weiſe bekraͤftiget/ die wir alſo hier auch mit anfuͤgen muͤſſen.

Es ſey eine/ durch vielfachen Umblauff beſchriebene/ Schnekken-Lini/ deren
Anfangspunct H, der Endpunct E iſt/ und welche vermittelſt derer Lineen HA,
AB, BC, &c. unterſchiedliche Schnekkenflaͤchen (vorerklaͤrter maſſen) beſchlieſ-
ſet/ deren erſte ſey K, die andere L, die dritte M, die vierdte N, die fuͤnfte X. Soll
nun erwieſen werden/ daß X viermal/ N dreymal/ M zweymal ſo groß ſey als
L, L aber ſechsmal ſo groß als K.