Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

Dritte Vorlesung.
(a1 + b1)(a1 + b2)(a1 + b3) .. + (a2 + b1)(a2 + b2)(a2 + b3) .. + ... =
= (a1 + b1 + a2 + b1 + ...)(a1 + b2 + a2 + b2 + ...)(a1 + b3 + a2 + b3 + ...) .. =
= a1 + a2 + ... + b1b2b3 ..,
wie ersichtlich.

Der Beweis kann aber auch ganz in Summen- und Produktzeichen
geführt werden auf Grund der Tautologiegesetze und des Distributions-
gesetzes nebst dualem Gegenstück, wie folgt: Wir haben:
[Formel 1] weil sich konstante Faktoren vorschieben lassen. Ebenso:
[Formel 2] ,
q. e d. Das andre dual entsprechend.

Hier bietet sich als ein interessantes Problem die Frage dar: welches
ist die allgemeinste Funktion identischen Kalkuls:
ah k = f(ah, bk)
derart, dass die Subsumtionen 2) als Gleichungen bestehen? Dieselbe muss
Produkt und Summe unter sich begreifen.

Unter denselben Annahmen bezüglich ah k verdient auch noch
Beachtung, dass die vorhergehenden Formeln 1) der Zusätze fähig sind:
4) [Formel 3]
die sich der Leser leicht aus den Tautologiegesetzen (erster und vierter)
resp. aus der Multiplikationsregel für Polynome (zweiter) und deren
dualem Gegenstück (dritter) beweisen wird.

Von diesen Formeln gestattet aber die erste und die letzte noch
eine weitere Vereinfachung sobald h und k die nämliche Erstreckung
haben: dann lässt sich auch der eine der beiden Zeigerbuchstaben --
gleichviel welcher -- mitsamt dem zugehörigen S oder P-zeichen noch
obendrein ersparen, indem wir haben:
5)

[Tabelle]
-- in der That z. B. rechts vom Striche:
[Formel 4] .

Unter derselben Voraussetzung gilt dagegen zu 3) blos als Ein-
ordnung:

Dritte Vorlesung.
(a1 + b1)(a1 + b2)(a1 + b3) ‥ + (a2 + b1)(a2 + b2)(a2 + b3) ‥ + … =
= (a1 + b1 + a2 + b1 + …)(a1 + b2 + a2 + b2 + …)(a1 + b3 + a2 + b3 + …) ‥ =
= a1 + a2 + … + b1b2b3 ‥,
wie ersichtlich.

Der Beweis kann aber auch ganz in Summen- und Produktzeichen
geführt werden auf Grund der Tautologiegesetze und des Distributions-
gesetzes nebst dualem Gegenstück, wie folgt: Wir haben:
[Formel 1] weil sich konstante Faktoren vorschieben lassen. Ebenso:
[Formel 2] ,
q. e d. Das andre dual entsprechend.

Hier bietet sich als ein interessantes Problem die Frage dar: welches
ist die allgemeinste Funktion identischen Kalkuls:
ah k = f(ah, bk)
derart, dass die Subsumtionen 2) als Gleichungen bestehen? Dieselbe muss
Produkt und Summe unter sich begreifen.

Unter denselben Annahmen bezüglich ah k verdient auch noch
Beachtung, dass die vorhergehenden Formeln 1) der Zusätze fähig sind:
4) [Formel 3]
die sich der Leser leicht aus den Tautologiegesetzen (erster und vierter)
resp. aus der Multiplikationsregel für Polynome (zweiter) und deren
dualem Gegenstück (dritter) beweisen wird.

Von diesen Formeln gestattet aber die erste und die letzte noch
eine weitere Vereinfachung sobald h und k die nämliche Erstreckung
haben: dann lässt sich auch der eine der beiden Zeigerbuchstaben —
gleichviel welcher — mitsamt dem zugehörigen Σ oder Π-zeichen noch
obendrein ersparen, indem wir haben:
5)

[Tabelle]
— in der That z. B. rechts vom Striche:
[Formel 4] .

Unter derselben Voraussetzung gilt dagegen zu 3) blos als Ein-
ordnung:

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0128" n="114"/><fw place="top" type="header">Dritte Vorlesung.</fw><lb/><hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">2</hi>)(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">3</hi>) &#x2025; + (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">2</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">2</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">2</hi>)(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">2</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">3</hi>) &#x2025; + &#x2026; =<lb/>
= (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">2</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + &#x2026;)(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">2</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">2</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">2</hi> + &#x2026;)(<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">3</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">2</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">3</hi> + &#x2026;) &#x2025; =<lb/>
= <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">2</hi> + &#x2026; + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">2</hi><hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">3</hi> &#x2025;,</hi><lb/>
wie ersichtlich.</p><lb/>
          <p>Der <hi rendition="#g">Beweis</hi> kann aber auch ganz in Summen- und Produktzeichen<lb/>
geführt werden auf Grund der Tautologiegesetze und des Distributions-<lb/>
gesetzes nebst dualem Gegenstück, wie folgt: Wir haben:<lb/><hi rendition="#c"><formula/></hi> weil sich konstante Faktoren vorschieben lassen. Ebenso:<lb/><hi rendition="#c"><formula/>,</hi><lb/>
q. e d. Das andre dual entsprechend.</p><lb/>
          <p>Hier bietet sich als ein interessantes Problem die Frage dar: welches<lb/>
ist die allgemeinste Funktion identischen Kalkuls:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h k</hi></hi> = <hi rendition="#i">f</hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h</hi></hi>, <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">k</hi></hi>)</hi><lb/>
derart, dass die Subsumtionen 2) als Gleichungen bestehen? Dieselbe muss<lb/>
Produkt und Summe unter sich begreifen.</p><lb/>
          <p>Unter denselben Annahmen bezüglich <hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h k</hi></hi> verdient auch noch<lb/>
Beachtung, dass die vorhergehenden Formeln 1) der Zusätze fähig sind:<lb/>
4) <hi rendition="#et"><formula/></hi><lb/>
die sich der Leser leicht aus den Tautologiegesetzen (erster und vierter)<lb/>
resp. aus der Multiplikationsregel für Polynome (zweiter) und deren<lb/>
dualem Gegenstück (dritter) <hi rendition="#g">beweisen</hi> wird.</p><lb/>
          <p>Von diesen Formeln gestattet aber die erste und die letzte noch<lb/>
eine weitere Vereinfachung sobald <hi rendition="#i">h</hi> und <hi rendition="#i">k</hi> die nämliche Erstreckung<lb/>
haben: dann lässt sich auch der eine der beiden Zeigerbuchstaben &#x2014;<lb/>
gleichviel welcher &#x2014; mitsamt dem zugehörigen <hi rendition="#i">&#x03A3;</hi> oder <hi rendition="#i">&#x03A0;</hi>-zeichen noch<lb/>
obendrein <hi rendition="#i">ersparen</hi>, indem wir haben:<lb/>
5) <table><row><cell/></row></table><lb/>
&#x2014; in der That z. B. rechts vom Striche:<lb/><hi rendition="#c"><formula/>.</hi></p><lb/>
          <p>Unter derselben Voraussetzung gilt dagegen zu 3) blos als Ein-<lb/>
ordnung:<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[114/0128] Dritte Vorlesung. (a1 + b1)(a1 + b2)(a1 + b3) ‥ + (a2 + b1)(a2 + b2)(a2 + b3) ‥ + … = = (a1 + b1 + a2 + b1 + …)(a1 + b2 + a2 + b2 + …)(a1 + b3 + a2 + b3 + …) ‥ = = a1 + a2 + … + b1b2b3 ‥, wie ersichtlich. Der Beweis kann aber auch ganz in Summen- und Produktzeichen geführt werden auf Grund der Tautologiegesetze und des Distributions- gesetzes nebst dualem Gegenstück, wie folgt: Wir haben: [FORMEL] weil sich konstante Faktoren vorschieben lassen. Ebenso: [FORMEL], q. e d. Das andre dual entsprechend. Hier bietet sich als ein interessantes Problem die Frage dar: welches ist die allgemeinste Funktion identischen Kalkuls: ah k = f(ah, bk) derart, dass die Subsumtionen 2) als Gleichungen bestehen? Dieselbe muss Produkt und Summe unter sich begreifen. Unter denselben Annahmen bezüglich ah k verdient auch noch Beachtung, dass die vorhergehenden Formeln 1) der Zusätze fähig sind: 4) [FORMEL] die sich der Leser leicht aus den Tautologiegesetzen (erster und vierter) resp. aus der Multiplikationsregel für Polynome (zweiter) und deren dualem Gegenstück (dritter) beweisen wird. Von diesen Formeln gestattet aber die erste und die letzte noch eine weitere Vereinfachung sobald h und k die nämliche Erstreckung haben: dann lässt sich auch der eine der beiden Zeigerbuchstaben — gleichviel welcher — mitsamt dem zugehörigen Σ oder Π-zeichen noch obendrein ersparen, indem wir haben: 5) — in der That z. B. rechts vom Striche: [FORMEL]. Unter derselben Voraussetzung gilt dagegen zu 3) blos als Ein- ordnung:

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/128
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 114. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/128>, abgerufen am 26.11.2024.