§ 7. Elementare Sätze über P, S von Relativen bewiesen.
6)
[Tabelle]
nämlich in extenso z. B.: a1a2a3 ... (b1 + b2 + b3 + ...) a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... (a1 + b1)(a2 + b2)(a3 + b3) ... a1 + a2 + a3 + ... + b1b2b3 ... wie unschwer zu sehen (Peirce9c p. 202). --
Ebenso müssten die Schemata 1) bis 6) sämtlich ihre Gültigkeit behalten, wenn unter dem allgemeinen Terme ah k statt eines Relativ- koeffizienten oder einer Aussage, vielmehr ein System (Gebiet) oder eine Klasse, ja selbst ein Relativ verstanden würde.
Mit dem in dieser Vorlesung gesicherten Erkenntnisskapital von Sätzen lässt sich, wie wir sehen werden, schon ziemlich viel in der Theorie erreichen. --
Sollten die Variabeln h, k anstatt der Ziffern 1, 2, 3, ... irgend welche Buchstabenwerte A, B, C, ... zu durchlaufen haben, so ändert das nichts an der Gültigkeit der Sätze und der Triftigkeit der für sie gegebenen Beweise.
Was schliesslich den Beweis für die noch eine Weile entbehr- lichen Sätze 17) bis 31) des § 6 betrifft, welche von den P und S binärer Relative handeln, so wollen wir nur ein paar Paradigmata als Vorbilder bringen, wonach der vorgerücktere Leser, wenn die Sätze endlich zur Verwendung kommen, sich deren etwa noch ausständige Beweise leicht selbst konstruiren wird.
Zunächst ist zu erinnern, dass wie immer der Erstreckungsbereich gegeben sein mag, nach Festsetzung (15) die Ausdrücke Pa und Sa als binäre Relative definirt zu denken sind durch die für jedes ij ihre Koeffizienten erklärenden Ansätze: (15)
(Pa)i j = Pai j
(Sa)i j = Sai j.
Da nun nach dem Aussagenschema a) des § 3: Pai jai j ist, so folgt auch allgemein (Pa)i jai j und haben wir im Hinblick auf (14) damit den Beweis von 18) Paa.
Ebenso geben die Überlegungen:
[Formel 1]
,
[Formel 2]
8*
§ 7. Elementare Sätze über Π, Σ von Relativen bewiesen.
6)
[Tabelle]
nämlich in extenso z. B.: a1a2a3 … (b1 + b2 + b3 + …) ⋹ a1b1 + a2b2 + a3b3 + … (a1 + b1)(a2 + b2)(a3 + b3) … ⋹ a1 + a2 + a3 + … + b1b2b3 … wie unschwer zu sehen (Peirce9c p. 202). —
Ebenso müssten die Schemata 1) bis 6) sämtlich ihre Gültigkeit behalten, wenn unter dem allgemeinen Terme ah k statt eines Relativ- koeffizienten oder einer Aussage, vielmehr ein System (Gebiet) oder eine Klasse, ja selbst ein Relativ verstanden würde.
Mit dem in dieser Vorlesung gesicherten Erkenntnisskapital von Sätzen lässt sich, wie wir sehen werden, schon ziemlich viel in der Theorie erreichen. —
Sollten die Variabeln h, k anstatt der Ziffern 1, 2, 3, … irgend welche Buchstabenwerte A, B, C, … zu durchlaufen haben, so ändert das nichts an der Gültigkeit der Sätze und der Triftigkeit der für sie gegebenen Beweise.
Was schliesslich den Beweis für die noch eine Weile entbehr- lichen Sätze 17) bis 31) des § 6 betrifft, welche von den Π und Σ binärer Relative handeln, so wollen wir nur ein paar Paradigmata als Vorbilder bringen, wonach der vorgerücktere Leser, wenn die Sätze endlich zur Verwendung kommen, sich deren etwa noch ausständige Beweise leicht selbst konstruiren wird.
Zunächst ist zu erinnern, dass wie immer der Erstreckungsbereich gegeben sein mag, nach Festsetzung (15) die Ausdrücke Πa und Σa als binäre Relative definirt zu denken sind durch die für jedes ij ihre Koeffizienten erklärenden Ansätze: (15)
(Πa)i j = Πai j
(Σa)i j = Σai j.
Da nun nach dem Aussagenschema α) des § 3: Πai j ⋹ ai j ist, so folgt auch allgemein (Πa)i j ⋹ ai j und haben wir im Hinblick auf (14) damit den Beweis von 18) Πa ⋹ a.
Ebenso geben die Überlegungen:
[Formel 1]
,
[Formel 2]
8*
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[115/0129]
§ 7. Elementare Sätze über Π, Σ von Relativen bewiesen.
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nämlich in extenso z. B.:
a1a2a3 … (b1 + b2 + b3 + …) ⋹ a1b1 + a2b2 + a3b3 + …
(a1 + b1)(a2 + b2)(a3 + b3) … ⋹ a1 + a2 + a3 + … + b1b2b3 …
wie unschwer zu sehen (Peirce9c p. 202). —
Ebenso müssten die Schemata 1) bis 6) sämtlich ihre Gültigkeit
behalten, wenn unter dem allgemeinen Terme ah k statt eines Relativ-
koeffizienten oder einer Aussage, vielmehr ein System (Gebiet) oder eine
Klasse, ja selbst ein Relativ verstanden würde.
Mit dem in dieser Vorlesung gesicherten Erkenntnisskapital von
Sätzen lässt sich, wie wir sehen werden, schon ziemlich viel in der
Theorie erreichen. —
Sollten die Variabeln h, k anstatt der Ziffern 1, 2, 3, … irgend
welche Buchstabenwerte A, B, C, … zu durchlaufen haben, so ändert
das nichts an der Gültigkeit der Sätze und der Triftigkeit der für sie
gegebenen Beweise.
Was schliesslich den Beweis für die noch eine Weile entbehr-
lichen Sätze 17) bis 31) des § 6 betrifft, welche von den Π und Σ
binärer Relative handeln, so wollen wir nur ein paar Paradigmata als
Vorbilder bringen, wonach der vorgerücktere Leser, wenn die Sätze
endlich zur Verwendung kommen, sich deren etwa noch ausständige
Beweise leicht selbst konstruiren wird.
Zunächst ist zu erinnern, dass wie immer der Erstreckungsbereich
gegeben sein mag, nach Festsetzung (15) die Ausdrücke
Πa und Σa
als binäre Relative definirt zu denken sind durch die für jedes ij ihre
Koeffizienten erklärenden Ansätze:
(15) (Πa)i j = Πai j (Σa)i j = Σai j.
Da nun nach dem Aussagenschema α) des § 3: Πai j ⋹ ai j ist, so
folgt auch allgemein (Πa)i j ⋹ ai j und haben wir im Hinblick auf (14)
damit den Beweis von 18) Πa ⋹ a.
Ebenso geben die Überlegungen:
[FORMEL],
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 115. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/129>, abgerufen am 18.05.2024.
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