Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Im übrigen -- bei Ausschluss je eines gewissen von den beiden Mo-
duln 0 und 1 -- bestehn zwischen den 8 verschiedenen Klassen folgende
Beziehungen:

Jedes Aliorelativ sowie jedes Konkurrentennegat ist zugleich Opponent
und Selbstrelativnegat.

Jeder Konkurrent sowie jedes Aliorelativnegat ist zugleich Selbst-
relativ und Negat eines Opponenten.

Dies beruht auf den folgenden Aussagensubsumtionen:
(a 0')(a 0) + (0' a)(a 1) (a 1')(1' a)
(a 1')(a 0) + (1' a)(a 1) (a 0')(0' a)
die mit ihren Teilvoraussetzungen und Teilbehauptungen der Leser sich
zur Übung leicht selber beweisen wird.

Nebenbei bemerke man: 1' ist die "Gemeinheit" (P, der least common
part) aller Aliorelativnegate und das Universum (S) aller Konkurrenten,
0' ist das Universum aller Aliorelative und die Gemeinheit aller Kon-
kurrentnegate.

Ebenso wie a selbst kann man aber auch dessen Verwandte an, a, an
mit den Moduln verknüpfen. Um dem Studirenden eine Ahnung von
dem ungeheuren Reichtum unsrer Disziplin zu verschaffen, will ich
hier überhaupt -- im Anschluss an die Besprechung von 1) -- die
Frage erledigen, wievielerlei und welche Relative sich aus einem ge-
gebnen Relativ a nebst dem Modul 1' ableiten lassen durch die Opera-
tionen der Negation und Konversion in Verbindung mit den beiden
identischen Knüpfungen. Wir wollen also die genannten zwei Relative
in Hinsicht der genannten vier Spezies zu einer "Gruppe" ergänzen.

Der Ausschluss der beiden relativen Knüpfungen motivirt sich aus
der Erwägung, dass bei deren Zulassung die Menge der fraglichen Relative
-- wie schon aus der Reihe a ; a, a ; a ; a, a ; a ; a ; a, ... zu ersehen ist --
eine unbegrenzte werden müsste.

Mit 1' wird als dessen Negation auch 0' zugelassen sein, und brauchte
also neben 1' nicht extra gegeben zu werden. Ebensowenig die beiden
absoluten Moduln, sintemal 1 = a + an, 0 = aan ohnehin aus a ableit-
bar sind.

Dagegen ist es nicht möglich mittelst genannter 4 Spezies einen re-
lativen Modul aus a abzuleiten, zu dessen Bestimmung ja seine Stellung
als Subjekt resp. Prädikat in 2) des § 8 jedenfalls nicht ausreichend wäre.

Zunächst liefern die vier verwandten Relative
4) a, an, a, an,
durch identische Multiplikation und Addition verknüpft, uns die 8 redu-
zibeln Knüpfungen:

Im übrigen — bei Ausschluss je eines gewissen von den beiden Mo-
duln 0 und 1 — bestehn zwischen den 8 verschiedenen Klassen folgende
Beziehungen:

Jedes Aliorelativ sowie jedes Konkurrentennegat ist zugleich Opponent
und Selbstrelativnegat.

Jeder Konkurrent sowie jedes Aliorelativnegat ist zugleich Selbst-
relativ und Negat eines Opponenten.

Dies beruht auf den folgenden Aussagensubsumtionen:
(a ⋹ 0')(a ≠ 0) + (0' ⋹ a)(a ≠ 1) ⋹ (a ⋹ 1')(1' ⋹ a)
(a ⋹ 1')(a ≠ 0) + (1' ⋹ a)(a ≠ 1) ⋹ (a ⋹ 0')(0' ⋹ a)
die mit ihren Teilvoraussetzungen und Teilbehauptungen der Leser sich
zur Übung leicht selber beweisen wird.

Nebenbei bemerke man: 1' ist die „Gemeinheit“ (Π, der least common
part) aller Aliorelativnegate und das Universum (Σ) aller Konkurrenten,
0' ist das Universum aller Aliorelative und die Gemeinheit aller Kon-
kurrentnegate.

Ebenso wie a selbst kann man aber auch dessen Verwandte ā, ă, ā̆
mit den Moduln verknüpfen. Um dem Studirenden eine Ahnung von
dem ungeheuren Reichtum unsrer Disziplin zu verschaffen, will ich
hier überhaupt — im Anschluss an die Besprechung von 1) — die
Frage erledigen, wievielerlei und welche Relative sich aus einem ge-
gebnen Relativ a nebst dem Modul 1' ableiten lassen durch die Opera-
tionen der Negation und Konversion in Verbindung mit den beiden
identischen Knüpfungen. Wir wollen also die genannten zwei Relative
in Hinsicht der genannten vier Spezies zu einer „Gruppe“ ergänzen.

Der Ausschluss der beiden relativen Knüpfungen motivirt sich aus
der Erwägung, dass bei deren Zulassung die Menge der fraglichen Relative
— wie schon aus der Reihe a ; a, a ; a ; a, a ; a ; a ; a, … zu ersehen ist —
eine unbegrenzte werden müsste.

Mit 1' wird als dessen Negation auch 0' zugelassen sein, und brauchte
also neben 1' nicht extra gegeben zu werden. Ebensowenig die beiden
absoluten Moduln, sintemal 1 = a + ā, 0 = aā ohnehin aus a ableit-
bar sind.

Dagegen ist es nicht möglich mittelst genannter 4 Spezies einen re-
lativen Modul aus a abzuleiten, zu dessen Bestimmung ja seine Stellung
als Subjekt resp. Prädikat in 2) des § 8 jedenfalls nicht ausreichend wäre.

Zunächst liefern die vier verwandten Relative
4) a, ā, ă, ā̆,
durch identische Multiplikation und Addition verknüpft, uns die 8 redu-
zibeln Knüpfungen: