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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 11. Allgemeinste Aufgabe.
oder widersinnige nennen, und als das Urbild, ja den Repräsentanten
aller absurden Gleichungen das aus dem identischen Kalkul bekannte
Schema
1 = 0
auch für unsre umfassendere Disziplin (der Theorie der Relative) bei-
behalten.

Letzteres trifft in der That in einem dreifachen Sinne zu. Mit der
Behauptung f = 0 ist erstlich 1 = 0 gefordert für die erwähnten von 0
verschiedenen Koeffizienten des f. Zweitens indem sich bei der "Ausrech-
nung" f 0 herausstellte, ist die Geltung von (f 0) = 1 und damit die
von (f = 0) = 0 gesichert. Die Behauptung f = 0, d. h. also (f = 0) = 1
müsste somit zu dem Widerspruche 1 = 0 (als Aussagenäquivalenz ver-
standen) führen.

Endlich aber drittens kann, falls f 0 ist, aus der Gleichung f = 0
sofort auch die Gleichung 1 = 0, gedeutet als solche zwischen binären Re-
lativen, nämlich als Gleichsetzung der absoluten Moduln 1 und 0, mit
Leichtigkeit abgeleitet werden und zwar indem man beiderseits mit 1 re-
lativ vor- und nachmultiplizirt, also aus f = 0 auf 1 ; f ; 1 = 1 ; 0 ; 1 --
das gibt nach 1) dann eben: 1 = 0 -- schliesst.

Um z. B. sei es aus der Behauptung 1' = 0, sei es aus der 0' = 0
auf die Form 1 = 0 zu kommen, genügt es schon, mit 1 beiderseits re-
lativ nachzumultipliziren. Es kann somit 1' = 0 oder 0' = 0 in 1 = 0
transformirt werden, gleichwie auch umgekehrt wegen 1 = 1' + 0' mit
1 = 0 auch 1' = 0 und 0' = 0 gegeben wäre. Die Gleichungen 1' = 0
(z. B.) und 1 = 0 sind damit als äquivalent erwiesen und wird jene ebenso
wie diese "absurd" zu nennen sein.

Ein Problem (sei es der Auflösung, sei es der Elimination) kann
uns in dem bis jetzt betrachteten "ersten" Falle nicht erwachsen.

Anders im "zweiten" Falle, dem, wo unbestimmte Relative in dem
Ausdrucke des Polynoms f der Gleichung f = 0 vorkommen.

Durch den blossen Ansatz der Gleichung, indem man ebendiese
"f = 0" auch nur ausspricht oder hinstellt, sei es als eine (bedingte
oder unbedingte) Behauptung, sei es um sie zur Voraussetzung einer
Untersuchung zu erheben, mutet man dem Leser zu und verpflichtet
sich selbst: unter den Buchstaben, welche als Namen von unbestimmten
Relativen in der Gleichung vorkommen, sich ein solches System von
Werten zu denken oder vorzustellen, für welches die Gleichung wahr
ist. Jedes System von spezifizirten Relativen, welches für jene unbe-
stimmten Relativsymbole in die Gleichung eingesetzt derselben "ge-
nügt", sie "erfüllt", d. h. eben wahr macht, heisst bekanntlich ein
System von "Wurzeln" der Gleichung, und sofern es sich um die Ent-
deckung eines Systems von Wurzeln handelt, werden jene unbestimmten

§ 11. Allgemeinste Aufgabe.
oder widersinnige nennen, und als das Urbild, ja den Repräsentanten
aller absurden Gleichungen das aus dem identischen Kalkul bekannte
Schema
1 = 0
auch für unsre umfassendere Disziplin (der Theorie der Relative) bei-
behalten.

Letzteres trifft in der That in einem dreifachen Sinne zu. Mit der
Behauptung f = 0 ist erstlich 1 = 0 gefordert für die erwähnten von 0
verschiedenen Koeffizienten des f. Zweitens indem sich bei der „Ausrech-
nung“ f ≠ 0 herausstellte, ist die Geltung von (f ≠ 0) = 1 und damit die
von (f = 0) = 0 gesichert. Die Behauptung f = 0, d. h. also (f = 0) = 1
müsste somit zu dem Widerspruche 1 = 0 (als Aussagenäquivalenz ver-
standen) führen.

Endlich aber drittens kann, falls f ≠ 0 ist, aus der Gleichung f = 0
sofort auch die Gleichung 1 = 0, gedeutet als solche zwischen binären Re-
lativen, nämlich als Gleichsetzung der absoluten Moduln 1 und 0, mit
Leichtigkeit abgeleitet werden und zwar indem man beiderseits mit 1 re-
lativ vor- und nachmultiplizirt, also aus f = 0 auf 1 ; f ; 1 = 1 ; 0 ; 1 —
das gibt nach 1) dann eben: 1 = 0 — schliesst.

Um z. B. sei es aus der Behauptung 1' = 0, sei es aus der 0' = 0
auf die Form 1 = 0 zu kommen, genügt es schon, mit 1 beiderseits re-
lativ nachzumultipliziren. Es kann somit 1' = 0 oder 0' = 0 in 1 = 0
transformirt werden, gleichwie auch umgekehrt wegen 1 = 1' + 0' mit
1 = 0 auch 1' = 0 und 0' = 0 gegeben wäre. Die Gleichungen 1' = 0
(z. B.) und 1 = 0 sind damit als äquivalent erwiesen und wird jene ebenso
wie diese „absurd“ zu nennen sein.

Ein Problem (sei es der Auflösung, sei es der Elimination) kann
uns in dem bis jetzt betrachteten „ersten“ Falle nicht erwachsen.

Anders im „zweiten“ Falle, dem, wo unbestimmte Relative in dem
Ausdrucke des Polynoms f der Gleichung f = 0 vorkommen.

Durch den blossen Ansatz der Gleichung, indem man ebendiese
„f = 0“ auch nur ausspricht oder hinstellt, sei es als eine (bedingte
oder unbedingte) Behauptung, sei es um sie zur Voraussetzung einer
Untersuchung zu erheben, mutet man dem Leser zu und verpflichtet
sich selbst: unter den Buchstaben, welche als Namen von unbestimmten
Relativen in der Gleichung vorkommen, sich ein solches System von
Werten zu denken oder vorzustellen, für welches die Gleichung wahr
ist. Jedes System von spezifizirten Relativen, welches für jene unbe-
stimmten Relativsymbole in die Gleichung eingesetzt derselben „ge-
nügt“, sie „erfüllt“, d. h. eben wahr macht, heisst bekanntlich ein
System von „Wurzeln“ der Gleichung, und sofern es sich um die Ent-
deckung eines Systems von Wurzeln handelt, werden jene unbestimmten

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[155/0169] § 11. Allgemeinste Aufgabe. oder widersinnige nennen, und als das Urbild, ja den Repräsentanten aller absurden Gleichungen das aus dem identischen Kalkul bekannte Schema 1 = 0 auch für unsre umfassendere Disziplin (der Theorie der Relative) bei- behalten. Letzteres trifft in der That in einem dreifachen Sinne zu. Mit der Behauptung f = 0 ist erstlich 1 = 0 gefordert für die erwähnten von 0 verschiedenen Koeffizienten des f. Zweitens indem sich bei der „Ausrech- nung“ f ≠ 0 herausstellte, ist die Geltung von (f ≠ 0) = 1 und damit die von (f = 0) = 0 gesichert. Die Behauptung f = 0, d. h. also (f = 0) = 1 müsste somit zu dem Widerspruche 1 = 0 (als Aussagenäquivalenz ver- standen) führen. Endlich aber drittens kann, falls f ≠ 0 ist, aus der Gleichung f = 0 sofort auch die Gleichung 1 = 0, gedeutet als solche zwischen binären Re- lativen, nämlich als Gleichsetzung der absoluten Moduln 1 und 0, mit Leichtigkeit abgeleitet werden und zwar indem man beiderseits mit 1 re- lativ vor- und nachmultiplizirt, also aus f = 0 auf 1 ; f ; 1 = 1 ; 0 ; 1 — das gibt nach 1) dann eben: 1 = 0 — schliesst. Um z. B. sei es aus der Behauptung 1' = 0, sei es aus der 0' = 0 auf die Form 1 = 0 zu kommen, genügt es schon, mit 1 beiderseits re- lativ nachzumultipliziren. Es kann somit 1' = 0 oder 0' = 0 in 1 = 0 transformirt werden, gleichwie auch umgekehrt wegen 1 = 1' + 0' mit 1 = 0 auch 1' = 0 und 0' = 0 gegeben wäre. Die Gleichungen 1' = 0 (z. B.) und 1 = 0 sind damit als äquivalent erwiesen und wird jene ebenso wie diese „absurd“ zu nennen sein. Ein Problem (sei es der Auflösung, sei es der Elimination) kann uns in dem bis jetzt betrachteten „ersten“ Falle nicht erwachsen. Anders im „zweiten“ Falle, dem, wo unbestimmte Relative in dem Ausdrucke des Polynoms f der Gleichung f = 0 vorkommen. Durch den blossen Ansatz der Gleichung, indem man ebendiese „f = 0“ auch nur ausspricht oder hinstellt, sei es als eine (bedingte oder unbedingte) Behauptung, sei es um sie zur Voraussetzung einer Untersuchung zu erheben, mutet man dem Leser zu und verpflichtet sich selbst: unter den Buchstaben, welche als Namen von unbestimmten Relativen in der Gleichung vorkommen, sich ein solches System von Werten zu denken oder vorzustellen, für welches die Gleichung wahr ist. Jedes System von spezifizirten Relativen, welches für jene unbe- stimmten Relativsymbole in die Gleichung eingesetzt derselben „ge- nügt“, sie „erfüllt“, d. h. eben wahr macht, heisst bekanntlich ein System von „Wurzeln“ der Gleichung, und sofern es sich um die Ent- deckung eines Systems von Wurzeln handelt, werden jene unbestimmten

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 155. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/169>, abgerufen am 23.11.2024.