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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 25. Sätze über Elemente.
relativen Faktor liegt er vor, wenn dieser sowie das Subjekt ein Ele-
mentkonvers ist.

Die Frage, inwiefern diese Wahrnehmung sich verallgemeinern lässt,
ist eine wichtige und wird uns nochmals beschäftigen.

Bei der ofterwähnten Vielförmigkeit unsrer Disziplin erscheint es fast
unthunlich, die Sätze jeweils in allen ihren gleichberechtigten, äquivalenten
und gleich einfachen Formen aufzuführen. Und doch kann gelegentlich
irgend eine dieser Formen belangreich werden!

So sind -- wenn wir es diesmal noch versuchen -- im Hinblick auf
den mit unter 22) gegebenen Satz a ; i = a j in, den man (mit seinen Ver-
wandten) eben auswendig behalten muss(!) -- auch folgendes noch die
mit ihm gleichberechtigten Formen unsres Satzes 19):
20)

[Tabelle]
.

Zu 17) die verwandten Formen aufzustellen überlassen wir dem Leser. --

Um in unsrer Theorie keine Lücke zu lassen, müssen wir auch die
den Sätzen 6) und 7) des § 2 zugrunde liegenden Behauptungen irgendwo
beweisen. Dies ist an gegenwärtiger Stelle ein Leichtes.

Um jenen Satz 7) i : j 0 zu beweisen, hat man blos nachzusehn,
dass 1 ; (i : j) ; 1 = 1 ; i ; j ; 1 = 1 ; 1 = 1 ist.

Und um -- was jenem Satze 6) zugrunde liegt -- die Verschieden-
heit von i : j und j : i bei der Annahme i j darzuthun, braucht man blos
zu zeigen, dass ij und ij in wenigstens einem Koeffizienten nicht überein-
stimmen. Nun ist der allgemeine Koeffizient des einen (ij)h k = ih kjk h = 1'i h1'j k
gleich 1 für h = i und k = j, gleich 0 aber in jedem andern Falle; der
des andern ist (ij)h k = ik hjh k = 1'i k1'j h gleich 1 für h = j und k = i, andern-
falles gleich 0. Also gibt es zwei Suffixe (ij und ji), wo die beiden
Koeffizienten verschieden, der eine nämlich 1 und der andre 0 ist, q. e. d.

Die Formeln und Sätze über die relativen Knüpfungen zwischen
einem Einzeiler i oder einem Einkolonner i oder deren Negaten und
einem allgemeinen Relativ a brauchen nicht besonders aufgestellt und
begründet zu werden, weil sie sich sogleich als spezielle Fälle ergeben
aus den allgemeineren Formeln für die Knüpfung eines Systems über-

Schröder, Algebra der Relative. 27

§ 25. Sätze über Elemente.
relativen Faktor liegt er vor, wenn dieser sowie das Subjekt ein Ele-
mentkonvers ist.

Die Frage, inwiefern diese Wahrnehmung sich verallgemeinern lässt,
ist eine wichtige und wird uns nochmals beschäftigen.

Bei der ofterwähnten Vielförmigkeit unsrer Disziplin erscheint es fast
unthunlich, die Sätze jeweils in allen ihren gleichberechtigten, äquivalenten
und gleich einfachen Formen aufzuführen. Und doch kann gelegentlich
irgend eine dieser Formen belangreich werden!

So sind — wenn wir es diesmal noch versuchen — im Hinblick auf
den mit unter 22) gegebenen Satz a ; i = a ɟ ī, den man (mit seinen Ver-
wandten) eben auswendig behalten muss(!) — auch folgendes noch die
mit ihm gleichberechtigten Formen unsres Satzes 19):
20)

[Tabelle]
.

Zu 17) die verwandten Formen aufzustellen überlassen wir dem Leser. —

Um in unsrer Theorie keine Lücke zu lassen, müssen wir auch die
den Sätzen 6) und 7) des § 2 zugrunde liegenden Behauptungen irgendwo
beweisen. Dies ist an gegenwärtiger Stelle ein Leichtes.

Um jenen Satz 7) i : j ≠ 0 zu beweisen, hat man blos nachzusehn,
dass 1 ; (i : j) ; 1 = 1 ; i ; j̆ ; 1 = 1 ; 1 = 1 ist.

Und um — was jenem Satze 6) zugrunde liegt — die Verschieden-
heit von i : j und j : i bei der Annahme i ≠ j darzuthun, braucht man blos
zu zeigen, dass ij̆ und ĭj in wenigstens einem Koeffizienten nicht überein-
stimmen. Nun ist der allgemeine Koeffizient des einen (ij̆)h k = ih kjk h = 1'i h1'j k
gleich 1 für h = i und k = j, gleich 0 aber in jedem andern Falle; der
des andern ist (ĭj)h k = ik hjh k = 1'i k1'j h gleich 1 für h = j und k = i, andern-
falles gleich 0. Also gibt es zwei Suffixe (ij und ji), wo die beiden
Koeffizienten verschieden, der eine nämlich 1 und der andre 0 ist, q. e. d.

Die Formeln und Sätze über die relativen Knüpfungen zwischen
einem Einzeiler i oder einem Einkolonner ĭ oder deren Negaten und
einem allgemeinen Relativ a brauchen nicht besonders aufgestellt und
begründet zu werden, weil sie sich sogleich als spezielle Fälle ergeben
aus den allgemeineren Formeln für die Knüpfung eines Systems über-

Schröder, Algebra der Relative. 27
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[417/0431] § 25. Sätze über Elemente. relativen Faktor liegt er vor, wenn dieser sowie das Subjekt ein Ele- mentkonvers ist. Die Frage, inwiefern diese Wahrnehmung sich verallgemeinern lässt, ist eine wichtige und wird uns nochmals beschäftigen. Bei der ofterwähnten Vielförmigkeit unsrer Disziplin erscheint es fast unthunlich, die Sätze jeweils in allen ihren gleichberechtigten, äquivalenten und gleich einfachen Formen aufzuführen. Und doch kann gelegentlich irgend eine dieser Formen belangreich werden! So sind — wenn wir es diesmal noch versuchen — im Hinblick auf den mit unter 22) gegebenen Satz a ; i = a ɟ ī, den man (mit seinen Ver- wandten) eben auswendig behalten muss(!) — auch folgendes noch die mit ihm gleichberechtigten Formen unsres Satzes 19): 20) . Zu 17) die verwandten Formen aufzustellen überlassen wir dem Leser. — Um in unsrer Theorie keine Lücke zu lassen, müssen wir auch die den Sätzen 6) und 7) des § 2 zugrunde liegenden Behauptungen irgendwo beweisen. Dies ist an gegenwärtiger Stelle ein Leichtes. Um jenen Satz 7) i : j ≠ 0 zu beweisen, hat man blos nachzusehn, dass 1 ; (i : j) ; 1 = 1 ; i ; j̆ ; 1 = 1 ; 1 = 1 ist. Und um — was jenem Satze 6) zugrunde liegt — die Verschieden- heit von i : j und j : i bei der Annahme i ≠ j darzuthun, braucht man blos zu zeigen, dass ij̆ und ĭj in wenigstens einem Koeffizienten nicht überein- stimmen. Nun ist der allgemeine Koeffizient des einen (ij̆)h k = ih kjk h = 1'i h1'j k gleich 1 für h = i und k = j, gleich 0 aber in jedem andern Falle; der des andern ist (ĭj)h k = ik hjh k = 1'i k1'j h gleich 1 für h = j und k = i, andern- falles gleich 0. Also gibt es zwei Suffixe (ij und ji), wo die beiden Koeffizienten verschieden, der eine nämlich 1 und der andre 0 ist, q. e. d. Die Formeln und Sätze über die relativen Knüpfungen zwischen einem Einzeiler i oder einem Einkolonner ĭ oder deren Negaten und einem allgemeinen Relativ a brauchen nicht besonders aufgestellt und begründet zu werden, weil sie sich sogleich als spezielle Fälle ergeben aus den allgemeineren Formeln für die Knüpfung eines Systems über- Schröder, Algebra der Relative. 27

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 417. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/431>, abgerufen am 23.11.2024.