Man bemerkt, dass die 8 Knüpfungsergebnisse der 5, 7, 13 und 15ten Zeile ausgezeichnete Relative sind, deshalb auch ihrem Konversen gleich.
Wesentlich neu sind nur die diese betreffenden Angaben in unsrer Zusammenstellung -- welche in allen andern Fällen lehrt, die relative Knüpfung auf eine identische zurückzuführen, in jenen 8 genannten aber solche Zurückführung doch wenigstens so weit als möglich treibt.
Mit Rücksicht auf den Abacus und 5) verstehen sich die 24 übrigen Formeln 23) schon aus 16), 17) und 18) von selbst.
Z. B. es ist 1 ; a j 1 ; b = 1 ; a j 0 j 1 ; b nach 5), und dies, nach 16) rechts, = 1 ; a j 0 + 0 j 1 ; b = 1 ; a j 0 + 1 ; b wiederum nach 5), q. e. d. Etc.
Die vorerwähnten achte lassen (links vom Mittelstriche) nach 5) sich leicht auf die erste von ihnen zurückführen -- indem z. B. 1 ; a ; (b j 0) = 1 ; a ; (b j 0) ; 1 sein wird, etc.
Es bleibt also nur diese erstere, d. i. die der 5ten Zeile von 23) links -- zu beweisen.
Dieses ist leicht unmittelbar durch die Koeffizientenevidenz zu leisten. Nennt man L den ersten, R den zweiten der drei gleichgesetzten Aus- drücke, von welchem der dritte nur das Konverse ist, so hat man: Li j = Sh k l1i hah kbk l1l j = Sh k lah kbk l = SkSh1i hah kSl1i lbl k1k j = Ri j, q. e. d. -- Da wo rechterhand in 23) als Faktor oder Summand ein aus- gezeichnetes Relativ erscheint -- wie es bei der Hälfte der 24 Fälle zu- trifft, in denen das Ergebniss nicht schon selbst ein solches war -- ver- einfacht sich natürlich das Endergebniss noch sehr, je nachdem jenes den Wert 0 oder 1 aufweist.
Die vorstehenden Formeln sind als Schemata für das Rechnen in unsrer relativen Algebra von ungemeiner Nützlichkeit.
Wir fahren mit der Sammlung fort: 25)
[Formel 1]
26)
[Formel 2]
27)
1 ; a ; 1 = 1 ; a ; 1
0 j a j 0 = 0 j a j 0
28)
1 ; a ; 1 ; b ; 1 = 1 ; b ; 1 ; a ; 1
0 j a j 0 j b j 0 = 0 j b j 0 j a j 0.
Und so weiter für noch mehr Terme:
Nicht nur ist die Reihenfolge von Relativen, welche einzeln zwischen lauter relative Faktoren 1 sich eingeschaltet finden, allemal gleichgültig*); sondern es können auch irgend welche dieser Relative durch ihre Konverse ersetzt werden, desgleichen ist es erlaubt, ein jedes dieser Relative, wie a, zu ersetzen durch ein relatives Produkt von beliebig viel Faktoren, welche abwechselnd es selbst und sein Konverses sind, wie
*) Aus S. 151 wiederholt, und schon aus 3) und 6) bis 9) des § 11 ersichtlich.
§ 27. Formelsammlung.
Man bemerkt, dass die 8 Knüpfungsergebnisse der 5, 7, 13 und 15ten Zeile ausgezeichnete Relative sind, deshalb auch ihrem Konversen gleich.
Wesentlich neu sind nur die diese betreffenden Angaben in unsrer Zusammenstellung — welche in allen andern Fällen lehrt, die relative Knüpfung auf eine identische zurückzuführen, in jenen 8 genannten aber solche Zurückführung doch wenigstens so weit als möglich treibt.
Mit Rücksicht auf den Abacus und 5) verstehen sich die 24 übrigen Formeln 23) schon aus 16), 17) und 18) von selbst.
Z. B. es ist 1 ; a ɟ 1 ; b = 1 ; a ɟ 0 ɟ 1 ; b nach 5), und dies, nach 16) rechts, = 1 ; a ɟ 0 + 0 ɟ 1 ; b = 1 ; a ɟ 0 + 1 ; b wiederum nach 5), q. e. d. Etc.
Die vorerwähnten achte lassen (links vom Mittelstriche) nach 5) sich leicht auf die erste von ihnen zurückführen — indem z. B. 1 ; a ; (b ɟ 0) = 1 ; a ; (b ɟ 0) ; 1 sein wird, etc.
Es bleibt also nur diese erstere, d. i. die der 5ten Zeile von 23) links — zu beweisen.
Dieses ist leicht unmittelbar durch die Koeffizientenevidenz zu leisten. Nennt man L den ersten, R den zweiten der drei gleichgesetzten Aus- drücke, von welchem der dritte nur das Konverse ist, so hat man: Li j = Σh k l1i hah kbk l1l j = Σh k lah kbk l = ΣkΣh1i hah kΣl1i lb̆l k1k j = Ri j, q. e. d. — Da wo rechterhand in 23) als Faktor oder Summand ein aus- gezeichnetes Relativ erscheint — wie es bei der Hälfte der 24 Fälle zu- trifft, in denen das Ergebniss nicht schon selbst ein solches war — ver- einfacht sich natürlich das Endergebniss noch sehr, je nachdem jenes den Wert 0 oder 1 aufweist.
Die vorstehenden Formeln sind als Schemata für das Rechnen in unsrer relativen Algebra von ungemeiner Nützlichkeit.
Wir fahren mit der Sammlung fort: 25)
[Formel 1]
26)
[Formel 2]
27)
1 ; a ; 1 = 1 ; ă ; 1
0 ɟ a ɟ 0 = 0 ɟ ă ɟ 0
28)
1 ; a ; 1 ; b ; 1 = 1 ; b ; 1 ; a ; 1
0 ɟ a ɟ 0 ɟ b ɟ 0 = 0 ɟ b ɟ 0 ɟ a ɟ 0.
Und so weiter für noch mehr Terme:
Nicht nur ist die Reihenfolge von Relativen, welche einzeln zwischen lauter relative Faktoren 1 sich eingeschaltet finden, allemal gleichgültig*); sondern es können auch irgend welche dieser Relative durch ihre Konverse ersetzt werden, desgleichen ist es erlaubt, ein jedes dieser Relative, wie a, zu ersetzen durch ein relatives Produkt von beliebig viel Faktoren, welche abwechselnd es selbst und sein Konverses sind, wie
*) Aus S. 151 wiederholt, und schon aus 3) und 6) bis 9) des § 11 ersichtlich.
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><p><pbfacs="#f0461"n="447"/><fwplace="top"type="header">§ 27. Formelsammlung.</fw><lb/>
Man bemerkt, dass die 8 Knüpfungsergebnisse der 5, 7, 13 und 15ten Zeile<lb/><hirendition="#i">ausgezeichnete</hi> Relative sind, deshalb auch ihrem Konversen gleich.</p><lb/><p>Wesentlich neu sind nur die diese betreffenden Angaben in unsrer<lb/>
Zusammenstellung — welche in allen andern Fällen lehrt, <hirendition="#i">die relative<lb/>
Knüpfung auf eine identische zurückzuführen,</hi> in jenen 8 genannten aber<lb/>
solche Zurückführung doch wenigstens so weit als möglich treibt.</p><lb/><p>Mit Rücksicht auf den Abacus und 5) verstehen sich die 24 übrigen<lb/>
Formeln 23) schon aus 16), 17) und 18) von selbst.</p><lb/><p>Z. B. es ist 1 ; <hirendition="#i">a</hi>ɟ 1 ; <hirendition="#i">b</hi> = 1 ; <hirendition="#i">a</hi>ɟ 0 ɟ 1 ; <hirendition="#i">b</hi> nach 5), und dies, nach 16)<lb/>
rechts, = 1 ; <hirendition="#i">a</hi>ɟ 0 + 0 ɟ 1 ; <hirendition="#i">b</hi> = 1 ; <hirendition="#i">a</hi>ɟ 0 + 1 ; <hirendition="#i">b</hi> wiederum nach 5), q. e. d. Etc.</p><lb/><p>Die vorerwähnten achte lassen (links vom Mittelstriche) nach 5) sich<lb/>
leicht auf die erste von ihnen zurückführen — indem z. B.<lb/><hirendition="#c">1 ; <hirendition="#i">a</hi> ; (<hirendition="#i">b</hi>ɟ 0) = 1 ; <hirendition="#i">a</hi> ; (<hirendition="#i">b</hi>ɟ 0) ; 1 sein wird, etc.</hi></p><lb/><p>Es bleibt also nur diese erstere, d. i. die der 5ten Zeile von 23)<lb/>
links — zu <hirendition="#g">beweisen</hi>.</p><lb/><p>Dieses ist leicht unmittelbar durch die Koeffizientenevidenz zu leisten.<lb/>
Nennt man <hirendition="#i">L</hi> den ersten, <hirendition="#i">R</hi> den zweiten der drei gleichgesetzten Aus-<lb/>
drücke, von welchem der dritte nur das Konverse ist, so hat man:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">L<hirendition="#sub">i j</hi></hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">h k l</hi></hi>1<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i h</hi>a<hirendition="#sub">h k</hi>b<hirendition="#sub">k l</hi></hi>1<hirendition="#i"><hirendition="#sub">l j</hi></hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">h k l</hi>a<hirendition="#sub">h k</hi>b<hirendition="#sub">k l</hi></hi> = <hirendition="#i">Σ<hirendition="#sub">k</hi>Σ<hirendition="#sub">h</hi></hi>1<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i h</hi>a<hirendition="#sub">h k</hi>Σ<hirendition="#sub">l</hi></hi>1<hirendition="#i"><hirendition="#sub">i l</hi>b̆<hirendition="#sub">l k</hi></hi>1<hirendition="#i"><hirendition="#sub">k j</hi></hi> = <hirendition="#i">R<hirendition="#sub">i j</hi></hi>,</hi><lb/>
q. e. d. — Da wo rechterhand in 23) als Faktor oder Summand ein aus-<lb/>
gezeichnetes Relativ erscheint — wie es bei der Hälfte der 24 Fälle zu-<lb/>
trifft, in denen das Ergebniss nicht schon selbst ein solches war — ver-<lb/>
einfacht sich natürlich das Endergebniss noch sehr, je nachdem jenes den<lb/>
Wert 0 oder 1 aufweist.</p><lb/><p>Die vorstehenden Formeln sind als <hirendition="#i">Schemata für das Rechnen</hi> in<lb/>
unsrer relativen Algebra von ungemeiner Nützlichkeit.</p><lb/><p>Wir fahren mit der Sammlung fort:<lb/>
25) <formula/><lb/>
26) <formula/><lb/>
27) <table><lb/><row><cell>1 ; <hirendition="#i">a</hi> ; 1 = 1 ; <hirendition="#i">ă</hi> ; 1</cell><cell>0 ɟ<hirendition="#i">a</hi>ɟ 0 = 0 ɟ<hirendition="#i">ă</hi>ɟ 0</cell></row><lb/></table> 28) <table><lb/><row><cell>1 ; <hirendition="#i">a</hi> ; 1 ; <hirendition="#i">b</hi> ; 1 = 1 ; <hirendition="#i">b</hi> ; 1 ; <hirendition="#i">a</hi> ; 1</cell><cell>0 ɟ<hirendition="#i">a</hi>ɟ 0 ɟ<hirendition="#i">b</hi>ɟ 0 = 0 ɟ<hirendition="#i">b</hi>ɟ 0 ɟ<hirendition="#i">a</hi>ɟ 0.</cell></row><lb/></table> Und so weiter für noch mehr Terme:</p><lb/><p><hirendition="#i">Nicht nur ist die Reihenfolge von Relativen, welche einzeln zwischen<lb/>
lauter relative Faktoren</hi> 1 <hirendition="#i">sich eingeschaltet finden, allemal gleichgültig</hi><noteplace="foot"n="*)">Aus S. 151 wiederholt, und schon aus 3) und 6) bis 9) des § 11 ersichtlich.</note>;<lb/><hirendition="#i">sondern es können auch irgend welche dieser Relative durch ihre Konverse<lb/>
ersetzt werden, desgleichen ist es erlaubt, ein jedes dieser Relative, wie a,<lb/>
zu ersetzen durch ein relatives Produkt von beliebig viel Faktoren, welche<lb/>
abwechselnd es selbst und sein Konverses sind, wie</hi><lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[447/0461]
§ 27. Formelsammlung.
Man bemerkt, dass die 8 Knüpfungsergebnisse der 5, 7, 13 und 15ten Zeile
ausgezeichnete Relative sind, deshalb auch ihrem Konversen gleich.
Wesentlich neu sind nur die diese betreffenden Angaben in unsrer
Zusammenstellung — welche in allen andern Fällen lehrt, die relative
Knüpfung auf eine identische zurückzuführen, in jenen 8 genannten aber
solche Zurückführung doch wenigstens so weit als möglich treibt.
Mit Rücksicht auf den Abacus und 5) verstehen sich die 24 übrigen
Formeln 23) schon aus 16), 17) und 18) von selbst.
Z. B. es ist 1 ; a ɟ 1 ; b = 1 ; a ɟ 0 ɟ 1 ; b nach 5), und dies, nach 16)
rechts, = 1 ; a ɟ 0 + 0 ɟ 1 ; b = 1 ; a ɟ 0 + 1 ; b wiederum nach 5), q. e. d. Etc.
Die vorerwähnten achte lassen (links vom Mittelstriche) nach 5) sich
leicht auf die erste von ihnen zurückführen — indem z. B.
1 ; a ; (b ɟ 0) = 1 ; a ; (b ɟ 0) ; 1 sein wird, etc.
Es bleibt also nur diese erstere, d. i. die der 5ten Zeile von 23)
links — zu beweisen.
Dieses ist leicht unmittelbar durch die Koeffizientenevidenz zu leisten.
Nennt man L den ersten, R den zweiten der drei gleichgesetzten Aus-
drücke, von welchem der dritte nur das Konverse ist, so hat man:
Li j = Σh k l1i hah kbk l1l j = Σh k lah kbk l = ΣkΣh1i hah kΣl1i lb̆l k1k j = Ri j,
q. e. d. — Da wo rechterhand in 23) als Faktor oder Summand ein aus-
gezeichnetes Relativ erscheint — wie es bei der Hälfte der 24 Fälle zu-
trifft, in denen das Ergebniss nicht schon selbst ein solches war — ver-
einfacht sich natürlich das Endergebniss noch sehr, je nachdem jenes den
Wert 0 oder 1 aufweist.
Die vorstehenden Formeln sind als Schemata für das Rechnen in
unsrer relativen Algebra von ungemeiner Nützlichkeit.
Wir fahren mit der Sammlung fort:
25) [FORMEL]
26) [FORMEL]
27) 1 ; a ; 1 = 1 ; ă ; 1 0 ɟ a ɟ 0 = 0 ɟ ă ɟ 0
28) 1 ; a ; 1 ; b ; 1 = 1 ; b ; 1 ; a ; 1 0 ɟ a ɟ 0 ɟ b ɟ 0 = 0 ɟ b ɟ 0 ɟ a ɟ 0.
Und so weiter für noch mehr Terme:
Nicht nur ist die Reihenfolge von Relativen, welche einzeln zwischen
lauter relative Faktoren 1 sich eingeschaltet finden, allemal gleichgültig *);
sondern es können auch irgend welche dieser Relative durch ihre Konverse
ersetzt werden, desgleichen ist es erlaubt, ein jedes dieser Relative, wie a,
zu ersetzen durch ein relatives Produkt von beliebig viel Faktoren, welche
abwechselnd es selbst und sein Konverses sind, wie
*) Aus S. 151 wiederholt, und schon aus 3) und 6) bis 9) des § 11 ersichtlich.
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 447. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/461>, abgerufen am 23.11.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
