§ 31. Dritte und vierte Fassung der Ahnlichkeitsbedingung.
Verhalten des Abbildungsprinzipes, d. h. über die Frage: zwischen welchen Elementen von a und welchen Elementen von b die Zuordnung bestehen solle, nichts präjudizirt werden, damit den Ergebnissen der Untersuchung die volle Allgemeinheit der Anwendung gesichert bleibe.
In dieser Hinsicht dürfte es sich empfehlen -- mit G. Cantor l. c. p. 242 -- die Bemerkung einzuschalten, dass, wenn zwischen den Elementen allen von a und b eineindeutige Zuordnung überhaupt auf eine Art mög- lich ist, dieselbe immer noch auf viele andre Weisen geschehen kann. Und diese Frage bleibt ganz unabhängig von den "Fassungen" in welchen wir -- mit Rücksicht auf das externe Verhalten des Abbildungsprinzips -- die (eine bestimmte) Zuordnungsweise formuliren mögen.
In diesem Sinne muss es nun sogleich als eine erhebliche Verein- fachung unsrer Ähnlichkeitsbedingung begrüsst werden, dass sie sich auch in der folgenden "dritten Fassung" darstellen lässt: (10)
[Formel 1]
, welche die Existenz eines a in b abbildenden und schlechtweg, im ganzen Denkbereiche, zum Typus A2A4 des § 30 gehörigen Relativs z fordert, das auch umgekehrt (als z) unser b in a abbilde.
Beweis. Es muss (10) (5) und (5) (10) erhärtet werden. Gibt es nun ein (10) erfüllendes z, so gibt es auch in Gestalt von y = z ein (5) erfüllendes y, sintemal ja b · z ; zz; z, und ebenso mit z ; z 1' a fortiori auch a · z ; z 1' gegeben ist. Mit (10) gilt also (5).
Umgekehrt: wenn es ein (5) erfüllendes y gibt, so gibt es auch in Gestalt von 11) z = aby, z = aby ein (10) erfüllendes z. Denn einerseits ist geradezu (by ; a) = (bb · y ; a) = (baby ; a) = (bz ; a), (ay ; b) = (aa · y ; b) = (aaby ; b) = (az ; b), andrerseits haben wir: (b · y ; y + a · y ; y 1') (bb · y ; ay + aa · y ; by 1') = = (aby ; aby + aby ; aby 1') = (z; z + z ; z 1') -- jenes, weil ayy, b · y ; ayb · y ; y, etc., q. e. d.
Auf die Fassung (10) der Ähnlichkeitsbedingung kommt man auch direkt, wenn man -- über das externe Verhalten des Abbildungs- prinzips x in 1) in etwas verfügend -- bei der Formulirung der dortigen Doppelforderung Xk h die beschränkenden Voraussetzungen ma und nb fallen lässt (wogegen die ha und kb noch bestehen bleiben), was denselben Effekt haben muss, als wenn man
§ 31. Dritte und vierte Fassung der Ahnlichkeitsbedingung.
Verhalten des Abbildungsprinzipes, d. h. über die Frage: zwischen welchen Elementen von a und welchen Elementen von b die Zuordnung bestehen solle, nichts präjudizirt werden, damit den Ergebnissen der Untersuchung die volle Allgemeinheit der Anwendung gesichert bleibe.
In dieser Hinsicht dürfte es sich empfehlen — mit G. Cantor l. c. p. 242 — die Bemerkung einzuschalten, dass, wenn zwischen den Elementen allen von a und b eineindeutige Zuordnung überhaupt auf eine Art mög- lich ist, dieselbe immer noch auf viele andre Weisen geschehen kann. Und diese Frage bleibt ganz unabhängig von den „Fassungen“ in welchen wir — mit Rücksicht auf das externe Verhalten des Abbildungsprinzips — die (eine bestimmte) Zuordnungsweise formuliren mögen.
In diesem Sinne muss es nun sogleich als eine erhebliche Verein- fachung unsrer Ähnlichkeitsbedingung begrüsst werden, dass sie sich auch in der folgenden „dritten Fassung“ darstellen lässt: (10)
[Formel 1]
, welche die Existenz eines a in b abbildenden und schlechtweg, im ganzen Denkbereiche, zum Typus A2A4 des § 30 gehörigen Relativs z fordert, das auch umgekehrt (als z̆) unser b in a abbilde.
Beweis. Es muss (10) ⋹ (5) und (5) ⋹ (10) erhärtet werden. Gibt es nun ein (10) erfüllendes z, so gibt es auch in Gestalt von y = z ein (5) erfüllendes y, sintemal ja b · z ; z̆ ⋹ z; z̆, und ebenso mit z̆ ; z ⋹ 1' a fortiori auch a · z̆ ; z ⋹ 1' gegeben ist. Mit (10) gilt also (5).
Umgekehrt: wenn es ein (5) erfüllendes y gibt, so gibt es auch in Gestalt von 11) z = ăby, z̆ = ab̆y̆ ein (10) erfüllendes z. Denn einerseits ist geradezu (b ⋹ y ; a) = (b ⋹ b · y ; a) = (b ⋹ ăby ; a) = (b ⋹ z ; a), (a ⋹ y̆ ; b) = (a ⋹ a · y̆ ; b) = (a ⋹ ab̆y̆ ; b) = (a ⋹ z̆ ; b), andrerseits haben wir: (b · y ; y̆ + a · y̆ ; y ⋹ 1') ⋹ (bb̆ · y ; ay̆ + aă · y̆ ; by ⋹ 1') = = (ăby ; ab̆y̆ + ab̆y̆ ; ăby ⋹ 1') = (z; z̆ + z̆ ; z ⋹ 1') — jenes, weil ay̆ ⋹ y̆, b · y ; ay̆ ⋹ b · y ; y̆, etc., q. e. d.
Auf die Fassung (10) der Ähnlichkeitsbedingung kommt man auch direkt, wenn man — über das externe Verhalten des Abbildungs- prinzips x in 1) in etwas verfügend — bei der Formulirung der dortigen Doppelforderung Xk h die beschränkenden Voraussetzungen m ⋹ a und n ⋹ b fallen lässt (wogegen die h ⋹ a und k ⋹ b noch bestehen bleiben), was denselben Effekt haben muss, als wenn man
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§ 31. Dritte und vierte Fassung der Ahnlichkeitsbedingung.
Verhalten des Abbildungsprinzipes, d. h. über die Frage: zwischen
welchen Elementen von a und welchen Elementen von b die Zuordnung
bestehen solle, nichts präjudizirt werden, damit den Ergebnissen der
Untersuchung die volle Allgemeinheit der Anwendung gesichert bleibe.
In dieser Hinsicht dürfte es sich empfehlen — mit G. Cantor l. c.
p. 242 — die Bemerkung einzuschalten, dass, wenn zwischen den Elementen
allen von a und b eineindeutige Zuordnung überhaupt auf eine Art mög-
lich ist, dieselbe immer noch auf viele andre Weisen geschehen kann. Und
diese Frage bleibt ganz unabhängig von den „Fassungen“ in welchen wir
— mit Rücksicht auf das externe Verhalten des Abbildungsprinzips — die
(eine bestimmte) Zuordnungsweise formuliren mögen.
In diesem Sinne muss es nun sogleich als eine erhebliche Verein-
fachung unsrer Ähnlichkeitsbedingung begrüsst werden, dass sie sich
auch in der folgenden „dritten Fassung“ darstellen lässt:
(10) [FORMEL],
welche die Existenz eines a in b abbildenden und schlechtweg, im
ganzen Denkbereiche, zum Typus A2A4 des § 30 gehörigen Relativs z
fordert, das auch umgekehrt (als z̆) unser b in a abbilde.
Beweis. Es muss (10) ⋹ (5) und (5) ⋹ (10) erhärtet werden. Gibt
es nun ein (10) erfüllendes z, so gibt es auch in Gestalt von y = z ein (5)
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Umgekehrt: wenn es ein (5) erfüllendes y gibt, so gibt es auch in
Gestalt von
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ein (10) erfüllendes z. Denn einerseits ist geradezu
(b ⋹ y ; a) = (b ⋹ b · y ; a) = (b ⋹ ăby ; a) = (b ⋹ z ; a),
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andrerseits haben wir:
(b · y ; y̆ + a · y̆ ; y ⋹ 1') ⋹ (bb̆ · y ; ay̆ + aă · y̆ ; by ⋹ 1') =
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— jenes, weil ay̆ ⋹ y̆, b · y ; ay̆ ⋹ b · y ; y̆, etc., q. e. d.
Auf die Fassung (10) der Ähnlichkeitsbedingung kommt man auch
direkt, wenn man — über das externe Verhalten des Abbildungs-
prinzips x in 1) in etwas verfügend — bei der Formulirung der
dortigen Doppelforderung Xk h die beschränkenden Voraussetzungen
m ⋹ a und n ⋹ b fallen lässt (wogegen die h ⋹ a und k ⋹ b noch
bestehen bleiben), was denselben Effekt haben muss, als wenn man
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 605. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/619>, abgerufen am 16.06.2024.
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