Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

Zwölfte Vorlesung.

32) [Formel 1]

Man findet dann (siehe Kontext weiter unten):
33) [Formel 2]

Doch lassen sich für g2 und g4 alsbald auch noch die einfacheren
Ausdrucksformen gewinnen:
34) [Formel 3]
oder auch:
35) [Formel 4]

Begründung. Diese braucht nur für g1 und g2 selbständig gegeben
zu werden, weil aus den für diese beiden Bedingungen erlangten Aus-
drucksformen und Sätzen diejenigen für g3 und g4 durch die Vertauschung
von a, h, m, x mit resp. b, k, n, x hervorgehn, wie ein Blick auf 32)
erkennen lässt, sobald man sich bei g3 und g4 die Aussagen k x ; h und
k x ; m in die damit äquivalenten h x ; k und m x ; k umgeschrieben
denkt.

Nach 32) haben wir nun in den Koeffizienten:

g1 = Ph(ah Skbkxk h) = Ph(anh + Skbk hxk h) = Pi h{anh i + (1 ; bx)i h} =
= Pi h(an + 1 ; bx)i h = 0 j (an + 1 ; bx) j 0 = (an + 1 ; bx) j 0 = b ; x j an =
= an j x ; b = (1 an j x ; b) = (a ; 1 x ; b) = (a x ; b),

g2 = Ph k n(ahbkxk hbn0'n k xnn h) = Ph k{anh + bnk + xnk h + Pn(bnn + 1'k n + xnn h)} =
= Ph k[anh k + (bn + xn)k h + {1' j (bn + xn)}k h] = Pk h{an + bn + xn + 1' j (bn + xn)}k h =
= 0 j {an + bn + xn + 1' j (bn + xn)} j 0 = bn j {xn + 1' j (bn + xn)} j an =
= an j {(xn + bn) j 1' + xn} j bn = (1 idem) = {a ; 1 ; b = ab (xn + bn) j 1' + xn} =
= (xb ; 0' · xba = 0)

q. e. d. das heisst: es sind damit die Angaben 33) erwiesen.

Zwölfte Vorlesung.

32) [Formel 1]

Man findet dann (siehe Kontext weiter unten):
33) [Formel 2]

Doch lassen sich für γ2 und γ4 alsbald auch noch die einfacheren
Ausdrucksformen gewinnen:
34) [Formel 3]
oder auch:
35) [Formel 4]

Begründung. Diese braucht nur für γ1 und γ2 selbständig gegeben
zu werden, weil aus den für diese beiden Bedingungen erlangten Aus-
drucksformen und Sätzen diejenigen für γ3 und γ4 durch die Vertauschung
von a, h, m, x mit resp. b, k, n, x̆ hervorgehn, wie ein Blick auf 32)
erkennen lässt, sobald man sich bei γ3 und γ4 die Aussagen k ⋹ x ; h und
k ⋹ x ; m in die damit äquivalenten h ⋹ x̆ ; k und m ⋹ x̆ ; k umgeschrieben
denkt.

Nach 32) haben wir nun in den Koeffizienten:

γ1 = Πh(ah ⋹ Σkbkxk h) = Πh(āh + Σkbk hxk h) = Πi h{āh i + (1 ; bx)i h} =
= Πi h(ā̆ + 1 ; bx)i h = 0 ɟ (ā̆ + 1 ; bx) ɟ 0 = (ā̆ + 1 ; bx) ɟ 0 = b̆ ; x ɟ ā =
= ā̆ ɟ x̆ ; b = (1 ⋹ ā̆ ɟ x̆ ; b) = (a ; 1 ⋹ x̆ ; b) = (a ⋹ x̆ ; b),

γ2 = Πh k n(ahbkxk hbn0'n k ⋹ x̄n h) = Πh k{āh + b̄k + x̄k h + Πn(b̄n + 1'k n + x̄n h)} =
= Πh k[āh k + (b̄ + x̄)k h + {1' ɟ (b̄ + x̄)}k h] = Πk h{ā̆ + b̄ + x̄ + 1' ɟ (b̄ + x̄)}k h =
= 0 ɟ {ā̆ + b̄ + x̄ + 1' ɟ (b̄ + x̄)} ɟ 0 = b̄̆ ɟ {x̄ + 1' ɟ (b̄ + x̄)} ɟ ā =
= ā̆ ɟ {(x̄̆ + b̄̆) ɟ 1' + x̄̆} ɟ b̄ = (1 ⋹ idem) = {a ; 1 ; b̆ = ab̆ ⋹ (x̄̆ + b̄̆) ɟ 1' + x̄̆} =
= (x̆b̆ ; 0' · x̆b̆a = 0)

q. e. d. das heisst: es sind damit die Angaben 33) erwiesen.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <pb facs="#f0632" n="618"/>
          <fw place="top" type="header">Zwölfte Vorlesung.</fw><lb/>
          <p>32) <formula/></p><lb/>
          <p>Man findet dann (siehe Kontext weiter unten):<lb/>
33) <formula/></p><lb/>
          <p>Doch lassen sich für <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">2</hi> und <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">4</hi> alsbald auch noch die einfacheren<lb/>
Ausdrucksformen gewinnen:<lb/>
34) <formula/><lb/>
oder auch:<lb/>
35) <formula/></p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Begründung</hi>. Diese braucht nur für <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> und <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">2</hi> selbständig gegeben<lb/>
zu werden, weil aus den für diese beiden Bedingungen erlangten Aus-<lb/>
drucksformen und Sätzen diejenigen für <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">3</hi> und <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">4</hi> durch die Vertauschung<lb/>
von <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">h</hi>, <hi rendition="#i">m</hi>, <hi rendition="#i">x</hi> mit resp. <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">k</hi>, <hi rendition="#i">n</hi>, <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi> hervorgehn, wie ein Blick auf 32)<lb/>
erkennen lässt, sobald man sich bei <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">3</hi> und <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">4</hi> die Aussagen <hi rendition="#i">k</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> und<lb/><hi rendition="#i">k</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">m</hi> in die damit äquivalenten <hi rendition="#i">h</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">k</hi> und <hi rendition="#i">m</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">k</hi> umgeschrieben<lb/>
denkt.</p><lb/>
          <p>Nach 32) haben wir nun in den Koeffizienten:</p><lb/>
          <list>
            <item><hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h</hi></hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">k</hi>b<hi rendition="#sub">k</hi>x<hi rendition="#sub">k h</hi></hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">a&#x0304;<hi rendition="#sub">h</hi></hi> + <hi rendition="#i">&#x03A3;<hi rendition="#sub">k</hi>b<hi rendition="#sub">k h</hi>x<hi rendition="#sub">k h</hi></hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">i h</hi></hi>{<hi rendition="#i">a&#x0304;<hi rendition="#sub">h i</hi></hi> + (1 ; <hi rendition="#i">bx</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i h</hi></hi>} =<lb/>
= <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">i h</hi></hi>(<hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi> + 1 ; <hi rendition="#i">bx</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">i h</hi></hi> = 0 &#x025F; (<hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi> + 1 ; <hi rendition="#i">bx</hi>) &#x025F; 0 = (<hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi> + 1 ; <hi rendition="#i">bx</hi>) &#x025F; 0 = <hi rendition="#i">b&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">a&#x0304;</hi> =<lb/>
= <hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> = (1 &#x22F9; <hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi> &#x025F; <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> ; 1 &#x22F9; <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>),</item><lb/>
            <item><hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">2</hi> = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">h k n</hi></hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h</hi>b<hi rendition="#sub">k</hi>x<hi rendition="#sub">k h</hi>b<hi rendition="#sub">n</hi></hi>0'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">n k</hi></hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">x&#x0304;<hi rendition="#sub">n h</hi></hi>) = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">h k</hi></hi>{<hi rendition="#i">a&#x0304;<hi rendition="#sub">h</hi></hi> + <hi rendition="#i">b&#x0304;<hi rendition="#sub">k</hi></hi> + <hi rendition="#i">x&#x0304;<hi rendition="#sub">k h</hi></hi> + <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">n</hi></hi>(<hi rendition="#i">b&#x0304;<hi rendition="#sub">n</hi></hi> + 1'<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k n</hi></hi> + <hi rendition="#i">x&#x0304;<hi rendition="#sub">n h</hi></hi>)} =<lb/>
= <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">h k</hi></hi>[<hi rendition="#i">a&#x0304;<hi rendition="#sub">h k</hi></hi> + (<hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k h</hi></hi> + {1' &#x025F; (<hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>)}<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k h</hi></hi>] = <hi rendition="#i">&#x03A0;<hi rendition="#sub">k h</hi></hi>{<hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> + 1' &#x025F; (<hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>)}<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k h</hi></hi> =<lb/>
= 0 &#x025F; {<hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> + 1' &#x025F; (<hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>)} &#x025F; 0 = <hi rendition="#i">b&#x0304;&#x0306;</hi> &#x025F; {<hi rendition="#i">x&#x0304;</hi> + 1' &#x025F; (<hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> + <hi rendition="#i">x&#x0304;</hi>)} &#x025F; <hi rendition="#i">a&#x0304;</hi> =<lb/>
= <hi rendition="#i">a&#x0304;&#x0306;</hi> &#x025F; {(<hi rendition="#i">x&#x0304;&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">b&#x0304;&#x0306;</hi>) &#x025F; 1' + <hi rendition="#i">x&#x0304;&#x0306;</hi>} &#x025F; <hi rendition="#i">b&#x0304;</hi> = (1 &#x22F9; idem) = {<hi rendition="#i">a</hi> ; 1 ; <hi rendition="#i">b&#x0306;</hi> = <hi rendition="#i">ab&#x0306;</hi> &#x22F9; (<hi rendition="#i">x&#x0304;&#x0306;</hi> + <hi rendition="#i">b&#x0304;&#x0306;</hi>) &#x025F; 1' + <hi rendition="#i">x&#x0304;&#x0306;</hi>} =<lb/>
= (<hi rendition="#i">x&#x0306;b&#x0306;</hi> ; 0' · <hi rendition="#i">x&#x0306;b&#x0306;a</hi> = 0)</item>
          </list><lb/>
          <p>q. e. d. das heisst: es sind damit die Angaben 33) erwiesen.</p><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[618/0632] Zwölfte Vorlesung. 32) [FORMEL] Man findet dann (siehe Kontext weiter unten): 33) [FORMEL] Doch lassen sich für γ2 und γ4 alsbald auch noch die einfacheren Ausdrucksformen gewinnen: 34) [FORMEL] oder auch: 35) [FORMEL] Begründung. Diese braucht nur für γ1 und γ2 selbständig gegeben zu werden, weil aus den für diese beiden Bedingungen erlangten Aus- drucksformen und Sätzen diejenigen für γ3 und γ4 durch die Vertauschung von a, h, m, x mit resp. b, k, n, x̆ hervorgehn, wie ein Blick auf 32) erkennen lässt, sobald man sich bei γ3 und γ4 die Aussagen k ⋹ x ; h und k ⋹ x ; m in die damit äquivalenten h ⋹ x̆ ; k und m ⋹ x̆ ; k umgeschrieben denkt. Nach 32) haben wir nun in den Koeffizienten: γ1 = Πh(ah ⋹ Σkbkxk h) = Πh(āh + Σkbk hxk h) = Πi h{āh i + (1 ; bx)i h} = = Πi h(ā̆ + 1 ; bx)i h = 0 ɟ (ā̆ + 1 ; bx) ɟ 0 = (ā̆ + 1 ; bx) ɟ 0 = b̆ ; x ɟ ā = = ā̆ ɟ x̆ ; b = (1 ⋹ ā̆ ɟ x̆ ; b) = (a ; 1 ⋹ x̆ ; b) = (a ⋹ x̆ ; b), γ2 = Πh k n(ahbkxk hbn0'n k ⋹ x̄n h) = Πh k{āh + b̄k + x̄k h + Πn(b̄n + 1'k n + x̄n h)} = = Πh k[āh k + (b̄ + x̄)k h + {1' ɟ (b̄ + x̄)}k h] = Πk h{ā̆ + b̄ + x̄ + 1' ɟ (b̄ + x̄)}k h = = 0 ɟ {ā̆ + b̄ + x̄ + 1' ɟ (b̄ + x̄)} ɟ 0 = b̄̆ ɟ {x̄ + 1' ɟ (b̄ + x̄)} ɟ ā = = ā̆ ɟ {(x̄̆ + b̄̆) ɟ 1' + x̄̆} ɟ b̄ = (1 ⋹ idem) = {a ; 1 ; b̆ = ab̆ ⋹ (x̄̆ + b̄̆) ɟ 1' + x̄̆} = = (x̆b̆ ; 0' · x̆b̆a = 0) q. e. d. das heisst: es sind damit die Angaben 33) erwiesen.

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/632
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 618. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/632>, abgerufen am 23.06.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.