Nennt man jedoch x(1' j xn) = y, so kommt: 66) ay ; b, wo y = x(1' j xn) oder y ; y 1', und gelangt man auch von hier durch den Ansatz aby = z zu unsrer Normalform 55) zurück.
Auch mit der Form 59) lässt sich zeigen, dass, wenn ein x die For- derung erfüllt, dann auch z = abx dieselbe erfüllen muss, und umgekehrt (wo das Umgekehrte für x = z sofort ersichtlich). Es ist also aufgrund von 59) darzuthun, dass für unser z auch 1'a (zn j 1') ; zb(= R) sein müsse. In der That ist R = {(an + bn + xn) j 1'} ; abx = {an + (bn + xn) j 1'} ; bx · a. Mithin zerfällt die Behauptung in 1'aa, was wegen 1'a = 1'a ersicht- lich, und in
[Formel 1]
, was mit der Einordnung von 1'a schon unter den unterwellten Teil der rechten Seite kraft 59) a fortiori gilt.
Nunmehr haben wir noch ein paar Sätze zu beweisen.
Dem Satze D 35 bei der ähnlichen entspricht für die blos ein- deutige Abbildung der von Dedekind nicht besonders chiffrirte sondern nebenher in D 21 mitaufgenommene
Satz. Wird ein System a durch x, resp. y oder z eindeutig in b hinein abgebildet, so wird ebendadurch auch jedes Teilsystem c von a eindeutig in b hinein abgebildet.
Beweis. Dies folgt (bei c = c ; 1) mit ca aus ay ; b und y ; ab in 53) a fortiori als cy ; b und y ; cy ; ab, während die dortige nur auf b bezügliche Charakteristik von y für das Teilsystem von a dieselbe bleibt wie für a -- q. e. d.
Ähnliches gilt auch für die "normal" eindeutige Abbildung z von a in b hinein bei 55), jedoch mit einer Ausnahme. Falls nämlich c ein echtes Teilsystem von a, so wird z ; cn keineswegs = 0 sein, überhaupt die Adventivforderung als zcb, nämlich die Teilforderung zc derselben, nicht gelten, und somit im Allgemeinen nicht zu gelten brauchen. Aus za und ca ist ja solcher Schluss nicht ziehbar. Vielmehr zerfällt z ; cn = z ; (an + acn) = z ; acn [was 0, weil jedes Element von a ein wirk- liches Bild hat], sintemal c = ac, cn = an + cn = an + acn und z ; an = 0 war.
Eine inbezug auf ein System normal ähnliche Abbildung ist mithin zwar eine ähnliche aber nicht eine normal ähnliche inbezug auf ein (echtes) Teilsystem von jenem. Doch würde natürlich auch eine solche in Gestalt von cz sich wieder aus ihr ableiten lassen.
Dedekind's "Erklärung und Satz" D 25 betrifft die "Zusammen- setzung", Komposition zweier eindeutigen Abbildungen zu einer dritten sowie das solche Kompositionen beherrschende Assoziationsgesetz.
Durch De Morgan-Peirce's schon für die relative Multiplikation von binären Relativen überhaupt erwiesenes Assoziationsgesetz 6) des § 6
Zwölfte Vorlesung.
Nennt man jedoch x(1' ɟ x̄) = y, so kommt: 66) a⋹y̆ ; b, wo y = x(1' ɟ x̄) oder y ; y̆ ⋹ 1', und gelangt man auch von hier durch den Ansatz ăby = z zu unsrer Normalform 55) zurück.
Auch mit der Form 59) lässt sich zeigen, dass, wenn ein x die For- derung erfüllt, dann auch z = ăbx dieselbe erfüllen muss, und umgekehrt (wo das Umgekehrte für x = z sofort ersichtlich). Es ist also aufgrund von 59) darzuthun, dass für unser z auch 1'a ⋹ (z̄̆ ɟ 1') ; zb(= R) sein müsse. In der That ist R = {(ā + b̄̆ + x̄̆) ɟ 1'} ; ăbx = {ā + (b̄̆ + x̄̆) ɟ 1'} ; bx · ă. Mithin zerfällt die Behauptung in 1'a ⋹ ă, was wegen 1'a = 1'ă ersicht- lich, und in
[Formel 1]
, was mit der Einordnung von 1'a schon unter den unterwellten Teil der rechten Seite kraft 59) a fortiori gilt.
Nunmehr haben wir noch ein paar Sätze zu beweisen.
Dem Satze D 35 bei der ähnlichen entspricht für die blos ein- deutige Abbildung der von Dedekind nicht besonders chiffrirte sondern nebenher in D 21 mitaufgenommene
Satz. Wird ein System a durch x, resp. y oder z eindeutig in b hinein abgebildet, so wird ebendadurch auch jedes Teilsystem c von a eindeutig in b hinein abgebildet.
Beweis. Dies folgt (bei c = c ; 1) mit c ⋹ a aus a ⋹ y̆ ; b und y ; a ⋹ b in 53) a fortiori als c ⋹ y̆ ; b und y ; c ⋹ y ; a ⋹ b, während die dortige nur auf b bezügliche Charakteristik von y für das Teilsystem von a dieselbe bleibt wie für a — q. e. d.
Ähnliches gilt auch für die „normal“ eindeutige Abbildung z von a in b hinein bei 55), jedoch mit einer Ausnahme. Falls nämlich c ein echtes Teilsystem von a, so wird z ; c̄ keineswegs = 0 sein, überhaupt die Adventivforderung als z ⋹ c̆b, nämlich die Teilforderung z ⋹ c̆ derselben, nicht gelten, und somit im Allgemeinen nicht zu gelten brauchen. Aus z ⋹ ă und c̆ ⋹ ă ist ja solcher Schluss nicht ziehbar. Vielmehr zerfällt z ; c̄ = z ; (ā + ac̄) = z ; ac̄ [was ≠ 0, weil jedes Element von a ein wirk- liches Bild hat], sintemal c = ac, c̄ = ā + c̄ = ā + ac̄ und z ; ā = 0 war.
Eine inbezug auf ein System normal ähnliche Abbildung ist mithin zwar eine ähnliche aber nicht eine normal ähnliche inbezug auf ein (echtes) Teilsystem von jenem. Doch würde natürlich auch eine solche in Gestalt von c̆z sich wieder aus ihr ableiten lassen.
Dedekind’s »Erklärung und Satz« D 25 betrifft die „Zusammen- setzung“, Komposition zweier eindeutigen Abbildungen zu einer dritten sowie das solche Kompositionen beherrschende Assoziationsgesetz.
Durch De Morgan-Peirce’s schon für die relative Multiplikation von binären Relativen überhaupt erwiesenes Assoziationsgesetz 6) des § 6
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Zwölfte Vorlesung.
Nennt man jedoch x(1' ɟ x̄) = y, so kommt:
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und gelangt man auch von hier durch den Ansatz ăby = z zu unsrer
Normalform 55) zurück.
Auch mit der Form 59) lässt sich zeigen, dass, wenn ein x die For-
derung erfüllt, dann auch z = ăbx dieselbe erfüllen muss, und umgekehrt
(wo das Umgekehrte für x = z sofort ersichtlich). Es ist also aufgrund
von 59) darzuthun, dass für unser z auch 1'a ⋹ (z̄̆ ɟ 1') ; zb(= R) sein müsse.
In der That ist R = {(ā + b̄̆ + x̄̆) ɟ 1'} ; ăbx = {ā + (b̄̆ + x̄̆) ɟ 1'} ; bx · ă.
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[FORMEL],
was mit der Einordnung von 1'a schon unter den unterwellten Teil der
rechten Seite kraft 59) a fortiori gilt.
Nunmehr haben wir noch ein paar Sätze zu beweisen.
Dem Satze D 35 bei der ähnlichen entspricht für die blos ein-
deutige Abbildung der von Dedekind nicht besonders chiffrirte sondern
nebenher in D 21 mitaufgenommene
Satz. Wird ein System a durch x, resp. y oder z eindeutig in b
hinein abgebildet, so wird ebendadurch auch jedes Teilsystem c von a
eindeutig in b hinein abgebildet.
Beweis. Dies folgt (bei c = c ; 1) mit c ⋹ a aus a ⋹ y̆ ; b und
y ; a ⋹ b in 53) a fortiori als c ⋹ y̆ ; b und y ; c ⋹ y ; a ⋹ b, während die
dortige nur auf b bezügliche Charakteristik von y für das Teilsystem von
a dieselbe bleibt wie für a — q. e. d.
Ähnliches gilt auch für die „normal“ eindeutige Abbildung z von a
in b hinein bei 55), jedoch mit einer Ausnahme. Falls nämlich c ein
echtes Teilsystem von a, so wird z ; c̄ keineswegs = 0 sein, überhaupt die
Adventivforderung als z ⋹ c̆b, nämlich die Teilforderung z ⋹ c̆ derselben,
nicht gelten, und somit im Allgemeinen nicht zu gelten brauchen. Aus
z ⋹ ă und c̆ ⋹ ă ist ja solcher Schluss nicht ziehbar. Vielmehr zerfällt
z ; c̄ = z ; (ā + ac̄) = z ; ac̄ [was ≠ 0, weil jedes Element von a ein wirk-
liches Bild hat], sintemal c = ac, c̄ = ā + c̄ = ā + ac̄ und z ; ā = 0 war.
Eine inbezug auf ein System normal ähnliche Abbildung ist mithin
zwar eine ähnliche aber nicht eine normal ähnliche inbezug auf ein (echtes)
Teilsystem von jenem. Doch würde natürlich auch eine solche in Gestalt
von c̆z sich wieder aus ihr ableiten lassen.
Dedekind’s »Erklärung und Satz« D 25 betrifft die „Zusammen-
setzung“, Komposition zweier eindeutigen Abbildungen zu einer dritten
sowie das solche Kompositionen beherrschende Assoziationsgesetz.
Durch De Morgan-Peirce’s schon für die relative Multiplikation
von binären Relativen überhaupt erwiesenes Assoziationsgesetz 6) des § 6
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 638. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/652>, abgerufen am 23.11.2024.
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