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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.

(x ; x 1')(x a = 1 ; x)(y ; y 1')(y a ; x = 1 ; y) (z ; z 1')(z a = 1 ; z)
für z = y ; x. In der That folgt sowol mit x a, also x ; an = 0 auch
y ; x ; an = 0 also y ; x a, als auch mit den andern Voraussetzungen:
1 ; y ; x = a ; x ; x = 1 ; x ; x ; x = 1 ; x ; x = 1 ; x = a nach 26) S. 447 --
q. e. d.

Sehr schön lässt sich der Beweis des letzten Satzes auch mittelst
Argumentation auf die Elemente im genauen Anschluss an Dede-
kind's Räsonnement in unsrer Zeichensprache liefern, indem man die
Fassung 57) für b = 1 zugrund legt. Wir haben dann:
[Formel 1] ,
wo die unterwellten Aussagen blos Anmerkungen sein sollen, die auch
unterdrückbar wären, jedoch hingesetzt erkennen lassen, dass durch
die Thesis der ersten Prämisse (vor dem Pk) zugleich die Hypothesis
der zweiten (hinter dem Pk) als erfüllt verbürgt wird. Gemeinhin zu
reden:

Gibt es zu jedem Element h des Systems a ein (und nur+ ein) Ele-
ment k (im Denkbereiche), welches dessen x-Bild ist (mithin wegen
x ; h x ; a auch im x-Bilde von a enthalten sein wird), und gibt es zu
jedem Element k des Systems x ; a ein (und nur ein) Element l (im Denk-
bereiche), welches dessen y-Bild ist, so muss es auch zu jedem Element h
von a ein (und nur ein) Element l geben, welches das y-Bild von dessen
x-Bilde, d. h. dessen y ; x-Bild ist, q. e. d.

Gar nicht leicht dagegen scheint es, bei Zugrundelegung etwa der
Fassung 59) für b = 1, aus den Prämissen:
1'a x ; (1' j xn) und 1' · x ; a y ; (1' j yn) auf 1'a x ; y ; (1' j yn j xn)
direkt zu schliessen. Die Aufgabe sei Forschern hiemit empfohlen, und
eine ähnliche Aufgabe wäre auch an die Fassung 58) für b = 1 zu knüpfen.
In letztrer Hinsicht ist zwar der eine Teil der Behauptung, nämlich:
(a 1 ; x)(a ; x 1 ; y) (a 1 ; y ; x)
unschwer so beweisbar: Aus der ersten Prämisse folgt a = a · 1 ; x, aus
der zweiten: a ; x ; x 1 ; y ; x. Nach 20) S. 254 ist aber: a · 1 ; x a ; x ; x
-- womit sich die Konklusion nun a fortiori ergibt. Den andern Teil der
Behauptung:
{a 1 ; (1' j xn)}{a ; x 1 ; (1' j yn)} ergo {a 1 ; (1' j yn j xn)}
scheint es dagegen nicht leicht, vielleicht unmöglich, analytisch zu beweisen,
was ja erst dann ausführbar sein muss, wenn man links noch die Prämissen
aus der vorigen Behauptung hinzunimmt.

+ Die Aussage hinter dem Sk kann eo ipso nur für ein k erfüllt sein; denn
wäre sie es auch noch für ein zweites: k', so würde aus x ; h = k und x ; h = k'
ja k' = k folgen.

Zwölfte Vorlesung.

(x ; x̆ ⋹ 1')(x ⋹ ă = 1 ; x)(y ; y̆ ⋹ 1')(y ⋹ ă ; x̆ = 1 ; y) ⋹ (z ; z̆ ⋹ 1')(z ⋹ ă = 1 ; z)
für z = y ; x. In der That folgt sowol mit x ⋹ ă, also x ; ā = 0 auch
y ; x ; ā = 0 also y ; x ⋹ ă, als auch mit den andern Voraussetzungen:
1 ; y ; x = ă ; x̆ ; x = 1 ; x ; x̆ ; x = 1 ; x̆ ; x = 1 ; x = ă nach 26) S. 447 —
q. e. d.

Sehr schön lässt sich der Beweis des letzten Satzes auch mittelst
Argumentation auf die Elemente im genauen Anschluss an Dede-
kind’s Räsonnement in unsrer Zeichensprache liefern, indem man die
Fassung 57) für b = 1 zugrund legt. Wir haben dann:
[Formel 1] ,
wo die unterwellten Aussagen blos Anmerkungen sein sollen, die auch
unterdrückbar wären, jedoch hingesetzt erkennen lassen, dass durch
die Thesis der ersten Prämisse (vor dem Πk) zugleich die Hypothesis
der zweiten (hinter dem Πk) als erfüllt verbürgt wird. Gemeinhin zu
reden:

Gibt es zu jedem Element h des Systems a ein (und nur† ein) Ele-
ment k (im Denkbereiche), welches dessen x-Bild ist (mithin wegen
x ; h ⋹ x ; a auch im x-Bilde von a enthalten sein wird), und gibt es zu
jedem Element k des Systems x ; a ein (und nur ein) Element l (im Denk-
bereiche), welches dessen y-Bild ist, so muss es auch zu jedem Element h
von a ein (und nur ein) Element l geben, welches das y-Bild von dessen
x-Bilde, d. h. dessen y ; x-Bild ist, q. e. d.

Gar nicht leicht dagegen scheint es, bei Zugrundelegung etwa der
Fassung 59) für b = 1, aus den Prämissen:
1'a ⋹ x̆ ; (1' ɟ x̄) und 1' · x ; a ⋹ y̆ ; (1' ɟ ȳ) auf 1'a ⋹ x̆ ; y̆ ; (1' ɟ ȳ ɟ x̄)
direkt zu schliessen. Die Aufgabe sei Forschern hiemit empfohlen, und
eine ähnliche Aufgabe wäre auch an die Fassung 58) für b = 1 zu knüpfen.
In letztrer Hinsicht ist zwar der eine Teil der Behauptung, nämlich:
(ă ⋹ 1 ; x)(ă ; x̆ ⋹ 1 ; y) ⋹ (ă ⋹ 1 ; y ; x)
unschwer so beweisbar: Aus der ersten Prämisse folgt ă = ă · 1 ; x, aus
der zweiten: ă ; x̆ ; x ⋹ 1 ; y ; x. Nach 20) S. 254 ist aber: ă · 1 ; x ⋹ ă ; x̆ ; x
— womit sich die Konklusion nun a fortiori ergibt. Den andern Teil der
Behauptung:
{ă ⋹ 1 ; (1' ɟ x̄)}{ă ; x̆ ⋹ 1 ; (1' ɟ ȳ)} ergo {ă ⋹ 1 ; (1' ɟ ȳ ɟ x̄)}
scheint es dagegen nicht leicht, vielleicht unmöglich, analytisch zu beweisen,
was ja erst dann ausführbar sein muss, wenn man links noch die Prämissen
aus der vorigen Behauptung hinzunimmt.

† Die Aussage hinter dem Σk kann eo ipso nur für ein k erfüllt sein; denn
wäre sie es auch noch für ein zweites: k', so würde aus x ; h = k und x ; h = k'
ja k' = k folgen.

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[640/0654] Zwölfte Vorlesung. (x ; x̆ ⋹ 1')(x ⋹ ă = 1 ; x)(y ; y̆ ⋹ 1')(y ⋹ ă ; x̆ = 1 ; y) ⋹ (z ; z̆ ⋹ 1')(z ⋹ ă = 1 ; z) für z = y ; x. In der That folgt sowol mit x ⋹ ă, also x ; ā = 0 auch y ; x ; ā = 0 also y ; x ⋹ ă, als auch mit den andern Voraussetzungen: 1 ; y ; x = ă ; x̆ ; x = 1 ; x ; x̆ ; x = 1 ; x̆ ; x = 1 ; x = ă nach 26) S. 447 — q. e. d. Sehr schön lässt sich der Beweis des letzten Satzes auch mittelst Argumentation auf die Elemente im genauen Anschluss an Dede- kind’s Räsonnement in unsrer Zeichensprache liefern, indem man die Fassung 57) für b = 1 zugrund legt. Wir haben dann: [FORMEL], wo die unterwellten Aussagen blos Anmerkungen sein sollen, die auch unterdrückbar wären, jedoch hingesetzt erkennen lassen, dass durch die Thesis der ersten Prämisse (vor dem Πk) zugleich die Hypothesis der zweiten (hinter dem Πk) als erfüllt verbürgt wird. Gemeinhin zu reden: Gibt es zu jedem Element h des Systems a ein (und nur † ein) Ele- ment k (im Denkbereiche), welches dessen x-Bild ist (mithin wegen x ; h ⋹ x ; a auch im x-Bilde von a enthalten sein wird), und gibt es zu jedem Element k des Systems x ; a ein (und nur ein) Element l (im Denk- bereiche), welches dessen y-Bild ist, so muss es auch zu jedem Element h von a ein (und nur ein) Element l geben, welches das y-Bild von dessen x-Bilde, d. h. dessen y ; x-Bild ist, q. e. d. Gar nicht leicht dagegen scheint es, bei Zugrundelegung etwa der Fassung 59) für b = 1, aus den Prämissen: 1'a ⋹ x̆ ; (1' ɟ x̄) und 1' · x ; a ⋹ y̆ ; (1' ɟ ȳ) auf 1'a ⋹ x̆ ; y̆ ; (1' ɟ ȳ ɟ x̄) direkt zu schliessen. Die Aufgabe sei Forschern hiemit empfohlen, und eine ähnliche Aufgabe wäre auch an die Fassung 58) für b = 1 zu knüpfen. In letztrer Hinsicht ist zwar der eine Teil der Behauptung, nämlich: (ă ⋹ 1 ; x)(ă ; x̆ ⋹ 1 ; y) ⋹ (ă ⋹ 1 ; y ; x) unschwer so beweisbar: Aus der ersten Prämisse folgt ă = ă · 1 ; x, aus der zweiten: ă ; x̆ ; x ⋹ 1 ; y ; x. Nach 20) S. 254 ist aber: ă · 1 ; x ⋹ ă ; x̆ ; x — womit sich die Konklusion nun a fortiori ergibt. Den andern Teil der Behauptung: {ă ⋹ 1 ; (1' ɟ x̄)}{ă ; x̆ ⋹ 1 ; (1' ɟ ȳ)} ergo {ă ⋹ 1 ; (1' ɟ ȳ ɟ x̄)} scheint es dagegen nicht leicht, vielleicht unmöglich, analytisch zu beweisen, was ja erst dann ausführbar sein muss, wenn man links noch die Prämissen aus der vorigen Behauptung hinzunimmt. † Die Aussage hinter dem Σk kann eo ipso nur für ein k erfüllt sein; denn wäre sie es auch noch für ein zweites: k', so würde aus x ; h = k und x ; h = k' ja k' = k folgen.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 640. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/654>, abgerufen am 18.05.2024.

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