§ 31. Allgemeinstes Relativ, welches a eindeutig abbildet.
Soll ein System a in ein System b hinein überhaupt eindeutig abbildbar sein, so muss zwischen a und b eine gewisse Relation be- stehn, die sich durch Elimination von x resp. y oder z aus der Fassung unsrer relativen Abbildungsdefinition ergibt. Dieselbe lautet: 68) 1 ; a 1 ; b und besagt lediglich: dass b nicht ohne a verschwinden dürfe.
Enthält in der That b auch nur ein Element, so hindert nichts, ebendieses als das Bild zu jedem Element von a hinzustellen.
Nehmen wir nun diese Relation als erfüllt an, so lässt sich auch das allgemeinste Relativ x ermitteln, welches a eindeutig in b hinein abbildet, und zwar eignet dazu sich am besten die Fassung 59), indem sie in den Koeffizienten fordert: ai iShPkbh ixh i(1'i k + xnk i) -- wobei wir die rechte Seite in bx ; (1' j xn) konvertirt genommen haben. Hierin figuriren nun als Unbekannte lediglich die Koeffizienten der iten Kolonne von x.
Für jedes i, wo ai i = ai = 0, bleiben diese xh i = uh i vollkommen bestimmungslos. Das Systemkonvers 1 ; an1' erhält daher in x eine will- kürliche Besetzung, oder es muss 1 ; an1' · u ein integrirender Bestandteil unsres gesuchten Relativs x sein.
Für solche i jedoch, wo ai i = ai = 1 ist, muss auch mindestens ein Glied bh ixh ixnA ixnB i...(ohne xnh i) der Sh gleich 1 und damit bh i = bh = = 1, xh i = 1, xA i = xB i = .. (ohne xh i) .. = 0 sein. Gab es solche i, so war 1 ; a = 1 und kraft 68) auch 1 ; b = 1, d. h. es gibt gewisse h, für welche in der That bh i = bh = 1 ist, während für andre h dann auch bh i = bh = 0 sein mag. Man braucht alsdann blos in dieser Kolonne i dem x ein Auge zu erteilen an irgend einer der Stellen wo sie von den Vollzeilen des Systems b geschnitten wird, während alle übrigen Stellen dieser Kolonne bei x Leerstellen bleiben müssen, sodass die Kolonne i bei x eine einbesetzte wird.
Ungeachtet solcher Durchsichtigkeit des Baues von x scheint sich ein allgemeiner, jede Wurzel der Proposition 59) darstellender Ausdruck für x doch nur für den Fall b = 1 ohne erhebliche Weiterungen aufstellen zu lassen. In diesem Falle nämlich müssen die Kolonnen des Systemkonverses 1 ; a1' bei x nur einfach irgendwie einbesetzte sein, d. h. wir haben x = 1 ; an1' · u + 1 ; a1' · f, wenn f die allgemeinste "Funktion", d. h. ein Relativ mit lauter ein- besetzten Kolonnen vorstellt. Den (pasigraphischen) Ausdruck dieses f haben wir in 27) S. 589 gegeben. Da jedoch a und an Systeme sind, so vereinfacht sich noch: 1 ; an1' = an, 1 ; a1' = a, indem z. B. 1 ; a1' = 1 ; a1' = 1 ; (1 ; a)1' = 1 ; 1' · 1 ; a = 1 · a, und somit ist
Schröder, Algebra der Relative. 41
§ 31. Allgemeinstes Relativ, welches a eindeutig abbildet.
Soll ein System a in ein System b hinein überhaupt eindeutig abbildbar sein, so muss zwischen a und b eine gewisse Relation be- stehn, die sich durch Elimination von x resp. y oder z aus der Fassung unsrer relativen Abbildungsdefinition ergibt. Dieselbe lautet: 68) 1 ; a ⋹ 1 ; b und besagt lediglich: dass b nicht ohne a verschwinden dürfe.
Enthält in der That b auch nur ein Element, so hindert nichts, ebendieses als das Bild zu jedem Element von a hinzustellen.
Nehmen wir nun diese Relation als erfüllt an, so lässt sich auch das allgemeinste Relativ x ermitteln, welches a eindeutig in b hinein abbildet, und zwar eignet dazu sich am besten die Fassung 59), indem sie in den Koeffizienten fordert: ai i⋹ΣhΠkbh ixh i(1'i k + x̄k i) — wobei wir die rechte Seite in b̆x̆ ; (1' ɟ x̄) konvertirt genommen haben. Hierin figuriren nun als Unbekannte lediglich die Koeffizienten der iten Kolonne von x.
Für jedes i, wo ai i = ai = 0, bleiben diese xh i = uh i vollkommen bestimmungslos. Das Systemkonvers 1 ; ā1' erhält daher in x eine will- kürliche Besetzung, oder es muss 1 ; ā1' · u ein integrirender Bestandteil unsres gesuchten Relativs x sein.
Für solche i jedoch, wo ai i = ai = 1 ist, muss auch mindestens ein Glied bh ixh ix̄A ix̄B i…(ohne x̄h i) der Σh gleich 1 und damit bh i = bh = = 1, xh i = 1, xA i = xB i = ‥ (ohne xh i) ‥ = 0 sein. Gab es solche i, so war 1 ; a = 1 und kraft 68) auch 1 ; b = 1, d. h. es gibt gewisse h, für welche in der That bh i = bh = 1 ist, während für andre h dann auch bh i = bh = 0 sein mag. Man braucht alsdann blos in dieser Kolonne ĭ dem x ein Auge zu erteilen an irgend einer der Stellen wo sie von den Vollzeilen des Systems b geschnitten wird, während alle übrigen Stellen dieser Kolonne bei x Leerstellen bleiben müssen, sodass die Kolonne ĭ bei x eine einbesetzte wird.
Ungeachtet solcher Durchsichtigkeit des Baues von x scheint sich ein allgemeiner, jede Wurzel der Proposition 59) darstellender Ausdruck für x doch nur für den Fall b = 1 ohne erhebliche Weiterungen aufstellen zu lassen. In diesem Falle nämlich müssen die Kolonnen des Systemkonverses 1 ; a1' bei x nur einfach irgendwie einbesetzte sein, d. h. wir haben x = 1 ; ā1' · u + 1 ; a1' · f, wenn f die allgemeinste „Funktion“, d. h. ein Relativ mit lauter ein- besetzten Kolonnen vorstellt. Den (pasigraphischen) Ausdruck dieses f haben wir in 27) S. 589 gegeben. Da jedoch a und ā Systeme sind, so vereinfacht sich noch: 1 ; ā1' = ā̆, 1 ; a1' = ă, indem z. B. 1 ; a1' = 1 ; ă1' = 1 ; (1 ; ă)1' = 1 ; 1' · 1 ; ă = 1 · ă, und somit ist
Schröder, Algebra der Relative. 41
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§ 31. Allgemeinstes Relativ, welches a eindeutig abbildet.
Soll ein System a in ein System b hinein überhaupt eindeutig
abbildbar sein, so muss zwischen a und b eine gewisse Relation be-
stehn, die sich durch Elimination von x resp. y oder z aus der Fassung
unsrer relativen Abbildungsdefinition ergibt. Dieselbe lautet:
68) 1 ; a ⋹ 1 ; b
und besagt lediglich: dass b nicht ohne a verschwinden dürfe.
Enthält in der That b auch nur ein Element, so hindert nichts,
ebendieses als das Bild zu jedem Element von a hinzustellen.
Nehmen wir nun diese Relation als erfüllt an, so lässt sich auch
das allgemeinste Relativ x ermitteln, welches a eindeutig in b hinein
abbildet, und zwar eignet dazu sich am besten die Fassung 59), indem
sie in den Koeffizienten fordert:
ai i⋹ΣhΠkbh ixh i(1'i k + x̄k i)
— wobei wir die rechte Seite in b̆x̆ ; (1' ɟ x̄) konvertirt genommen
haben. Hierin figuriren nun als Unbekannte lediglich die Koeffizienten
der iten Kolonne von x.
Für jedes i, wo ai i = ai = 0, bleiben diese xh i = uh i vollkommen
bestimmungslos. Das Systemkonvers 1 ; ā1' erhält daher in x eine will-
kürliche Besetzung, oder es muss 1 ; ā1' · u ein integrirender Bestandteil
unsres gesuchten Relativs x sein.
Für solche i jedoch, wo ai i = ai = 1 ist, muss auch mindestens ein
Glied bh ixh ix̄A ix̄B i…(ohne x̄h i) der Σh gleich 1 und damit bh i = bh =
= 1, xh i = 1, xA i = xB i = ‥ (ohne xh i) ‥ = 0 sein. Gab es solche i, so
war 1 ; a = 1 und kraft 68) auch 1 ; b = 1, d. h. es gibt gewisse h, für
welche in der That bh i = bh = 1 ist, während für andre h dann auch
bh i = bh = 0 sein mag. Man braucht alsdann blos in dieser Kolonne ĭ dem x
ein Auge zu erteilen an irgend einer der Stellen wo sie von den Vollzeilen des
Systems b geschnitten wird, während alle übrigen Stellen dieser Kolonne bei x
Leerstellen bleiben müssen, sodass die Kolonne ĭ bei x eine einbesetzte wird.
Ungeachtet solcher Durchsichtigkeit des Baues von x scheint sich ein
allgemeiner, jede Wurzel der Proposition 59) darstellender Ausdruck für x
doch nur für den Fall b = 1 ohne erhebliche Weiterungen aufstellen zu
lassen. In diesem Falle nämlich müssen die Kolonnen des Systemkonverses
1 ; a1' bei x nur einfach irgendwie einbesetzte sein, d. h. wir haben
x = 1 ; ā1' · u + 1 ; a1' · f,
wenn f die allgemeinste „Funktion“, d. h. ein Relativ mit lauter ein-
besetzten Kolonnen vorstellt. Den (pasigraphischen) Ausdruck dieses f
haben wir in 27) S. 589 gegeben. Da jedoch a und ā Systeme sind, so
vereinfacht sich noch:
1 ; ā1' = ā̆, 1 ; a1' = ă,
indem z. B. 1 ; a1' = 1 ; ă1' = 1 ; (1 ; ă)1' = 1 ; 1' · 1 ; ă = 1 · ă, und somit ist
Schröder, Algebra der Relative. 41
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 641. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/655>, abgerufen am 27.11.2024.
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